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cycloïde. Pour rattacher ce théorème à ce qui précède, nous 
rappelons, avec la démonstration, deux propriétés de la droite p. 
Les droites PA,, PB,, PC, recoupent la circonférence O en 
A, B>, C. Le quadrilatère PA,B,C étant inscriptible, l'angle 
AB,A, — A,PC = A2AC; done p est parallèle aux droites 
AA, BBo, CC (*). 
La hauteur AHH, rencontre la circonférence O au symé- 
trique F de l’orthocentre H par rapport à son pied H,. Si done 
on prend sur PA, la longueur A,[ — PA,, les droites HI et FP 
sont symétriques par rapport à BC; d'où l’on conclut facilement 
que HI est parallèle à AA. Il en résulte que la droite p, qui est 
parallèle à HE et passe au milieu de PI, passe aussi au milieu Q 
de la droite HP. 
Soit « le milieu de HO ; on a &Q — 5 OP— R. Done le lieu 
de Q est la circonférence des neuf points du triangle ABC. 
Cela posé, la parallèle p/ à p menée par P enveloppe une 
‘ hypocycloïde tritangente au cerele O ($ 5). Par conséquent, la 
droite p qui correspond à p/ dans une homothétie de centre H 
enveloppe également une hypocycloïde; le cercle tritangent est 
maintenant le cercle des neuf points du triangle ABC. 
Pour construire les droites de Simson, il suffit de mener une 
corde quelconque PA, perpendiculaire à BG et de tracer par son 
point de rencontre À, avec BC des parallèles à AA et AP. On a 
donc le théorème suivant : 
Étant donnés une circonférence O, un point A sur cetle courbe 
et une corde BC, on projette un point quelconque A de la courbe 
en À, sur BC, et par À, on mène une parallèle à la corde AA; 
cette parallèle enveloppe une hypocycloïde. 
Si l’on remplace le sommet À du triangle ABC par un autre 
point «& de la circonférence O, la droite AA, tourne d'un angle 
constant égal à la moitié de l'angle AO; il en sera de même des 
droites p et p'. Par conséquent : 
a) Si les tangentes à une hypocycloïde tournent autour de leurs 
(*) Les figures 1 et 2 ne portent pas toutes les lignes ni tous les points 
dont il est question dans le texte. 
