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D'autre part, en observant que les cinq points À, U, F, P, V 
sont sur une même circonférence, on trouve 
angle (UV, X'Y')= AX'Y’— AVU — AXY — APU 
_— (90° — XAF) — (90° — UAP) — FAP. 
D'après cela, si l'on projette A en F sur XY, la perpendicu- 
laire abaissée de F sur BC coupe UV au point cherché. Cette 
construction donne lieu au théorème suivant : 
Soient A’, B', C’ les projections des sommets d’un triangle ABC 
sur la tangente menée au point P de la circonférence circonscrite. 
Les perpendiculaires abaissées de A', B, C! respectivement sur 
BC, CA, AB concourent au point où la pédale de P touche son 
enveloppe. 
28. Nous avons énoncé ce théorème dans notre mémoire Sur 
les projections et contre-projeclions d’un triangle fixe, page 76 
(t. XLIV des Mémoires in-8° publiés par l’Académie royale de 
Belgique, 1890). Une démonstration élémentaire en a été publiée 
par M. Sollerkinsky dans le Journal de mathématiques élémen- 
taires de M. de Longchamps, 1891, page 137. 
Qu'il nous soit permis d’en reproduire ici notre démonstration, 
à cause des nouvelles conséquences que nous en tirons. 
a) Nous établissons d’abord ee lemme (connu) : Étant donnés 
dans un même plan deux triangles quelconques ABC, A’B/C, on 
Fig. 13. 
peut toujours trouver trois masses a, $, y qui, placées respective- 
ment en À,B, C ou en À’, B/, C’, ont le même barycentre G (fig. 15). 
En effet, G étant le barycentre des points A, B, C affectés des 
