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de sorte que l’icosaèdre, dont le volume est un maximum, par 
rapport à celui de l’hexadièdre, dont il dérive, est l'icosaëdre 
régulier. 
DÉRIVATION DE L’ICOSAËDRE ET DU DODÉCAËDRE RÉGULIER 
EN PARTANT DU CUBE. 
Les valeurs obtenues ci-dessus conduisent à de curieuses rela- 
tions entre l’icosaèdre régulier, le dodécaëdre et le cube qui leur 
est circonscrit (*) : 
IcosaAèore. — La valeur du demi-côté de l’icosaèdre dérivé de 
l’hexadièdre m10 est 
dans le cas où l’on suppose que le côté du cube circonscrit est 
2a (**); comme, pour l'icosaèdre régulier, 
3+V5 
rare 
il vient (fig. 16) 
a 
CB=—> (V8 — 1), 
c'est-à-dire que CB est le plus grand segment de CE partagé en 
moyenne et extrême raison ; ainsi 
Le côté de l’icosaèdre régulier est le plus grand segment du 
côté du cube circonscrit partagé en moyenne et extrême raison. 
On tire de là un moyen très simple de construire l’icosaèdre 
régulier en partant du cube; après avoir mené par les centres 
de trois faces du cube, adjacentes au même sommet, des droites 
DE, D'E’, D’'E/' parallèles aux côtés et perpendiculaires deux à 
deux, on partage CE, CD, … en moyenne et extrême raison, de 
manière que CB soit le plus grand segment; ou obtient ainsi 
en À, B, A’, B/, A/', B/' les sommets de l’icosaèdre, sommets 
() J’ignore si ces propriétés sont connues. 
(**) Dans le problème précédent, le cube circonscrit avait pour côté 2 = ; 
il faut donc ici multiplier les dimensions linéaires par m, les volumes par ms. 
