e) 
Soient PM,, PM,, PM; (*) les trois tangentes menées par un 
point P à l’hypocycloïde (H), et soit ABC le triangle formé par 
les tangentes menées à cette courbe perpendiculairement aux 
tangentes PM,, PM, PM;. On sait que P est l'orthocentre du 
triangle ABC et que le cercle directeur © de (H) coïncide avec 
le cercle des neuf points de ce triangle. On conclut de là que les 
tangentes PM,, PM,, PM; sont égales aux hauteurs du triangle 
ABC, et que les points de contact de (H) avec les côtés du 
triangle ABC sont les symétriques N,, N°, N; des pieds des 
hauteurs par rapport aux milieux des côtés de ce triangle. 
Donc les normales aux points N,, N,, N; se coupent en un même 
point K symétrique de P par rapport au centre du cercle ABC, 
d'où @k — 3wP ; par conséquent : Étant données trois tangentes à 
Phypocycloide concourantes en un point P, il existe trois normales 
parallèles à ces tangentes et concourantes en un point K ; les points 
P ei K sont en ligne droite avec le centre du cercle directeur, et 
l’on a wk = 30P. 
2. Désignons par 44, &, t; les longueurs des tangentes 
PM,, PM;, PM;, et par 2, %, n;, les longueurs des normales 
KN,, KN,, KN;. On a 
t, — 4psin B sin C, (1) 
nn, = Lp (cos À — cos B cos C). (2) 
De ces expressions on tire les relations suivantes : 
t, sin A — {, sin B—#f;sin C, (5) 
ni — Ë — 7% — 1% — n — 64p cos A cos B cos C, (4) 
non n 
DS eV t (5) 
ti le ls 
La relation (5) montre que P est le centre de gravité du 
triangle formé par les normales aux points M,, M,, M;. En 
d'autres termes, si par un point P on mène à l'hypocycloide 
trois tangentes PM,, PM,, PM;, ce point est un foyer de l’ellipse 
de Steiner inscrite au triangle M,M,M;. 
(‘) Le lecteur est prié de tracer la figure. 
