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Donc : L'axe d'aberration en un point M de l’hypocycloïde est 
symétrique par rapport à la tangente au point M de la seconde 
tangente menée par ce point. 
5. L’axe d’aberration en un point M est le lieu des centres 
des coniques qui ont en ce point avec la courbe un contact 
quartiponctuel. Proposons-nous de chercher l'enveloppe de cette 
droite lorsque M décrit l’hypocycloïde ; cette enveloppe sera le 
lieu des centres des coniques qui ont avec (H) un contact quinti- 
ponctuel. 
La droite MM, (fig. 1) étant parallèle à wG, l'axe d’aberration 
est la parallèle menée par M à wx; soit y le point où cette droite 
rencontre @f, la distance wy sera égale à 2. Les points « et 
décrivent le cercle directeur avec des vitesses v et v/ telles que 
v= — 2v/; le point y décrit donc un cercle avee une vitesse 
angulaire qui est égale et de sens contraire à la moitié de la 
vitesse de rotation de la droite My autour de y. On conelut de 
là que My enveloppe une hypocycloïde à six rebroussements. 
Donc : Le lieu du centre d’une conique ayant avec l’hypocycloïde 
un contact quintiponctuel, est une hypocycloide à six rebrousse- 
ments. 
6. La parabole qui a avec la courbe un contact quartiponetuel 
en M a son axe parallèle à l’axe d’aberration; son foyer est done 
situé sur la droite MM,. Cette parabole a le mème centre de 
courbure en M que lhypocycloide; or dans la parabole, la 
projection du milieu du rayon de courbure sur le rayon vecteur 
coïncide avec le foyer. En rapprochant cette remarque du théo- 
rème démontré au $ 3, on obtient le beau théorème dùü à 
Laguerre (*) (N. A., 1870, p. 254) : 
Le foyer F de la parabole qui suroscule la courbe au point M 
est le symétrique, par rapport à M, du point de contact M, de la 
seconde tangente menée par M. 
() Le théorème est énoncé sans démonstration dans l’article cité. 
