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7. Proposons-nous de chercher le lieu de F lorsque M décrit 
l'hypocycloïde. On sait ($ 1) que les points &-et d (fig. 1) sont 
diamétralement opposés sur le cercle w; le triangle Md est donc 
isoscèle et MO — 2p; d’ailleurs, M, —d: et FM = MM,; on 
conclut de là que Fe = 4p. Si nous portons sur of une longueur 
wÀ égale à 4p, la figure Few sera un parallélogramme et le cercle 
décrit de À comme centre avec p pour rayon passera par F et 
sera tangent en un point u au cercle décrit de w comme centre 
avec un rayon égal à 59. Soient y et so le sommet et le point de 
rebroussement de l'hypocycloïde les plus rapprochés du point M; 
on a les égalités d’angles 
Fu — 0608 — 1809 — ac — 3(60° — Bar) — po 
ou 
arc Fu — arc ou. 
Le mouvement du cercle À est donc un simple roulement sur 
le cercle ou; par conséquent : | 
Le lieu des foyers des paraboles surosculatrices à l’hypocy- 
cloïde (H) est une épicycloïde à trois rebroussements. 
8. Les formules (1) et (2) comportent de nombreuses consé- 
quences; nous nous bornerons à en établir quelques-unes. 
a) En exprimant le rayon du cercle des neuf points du 
triangle ABC en fonction des hauteurs de ce triangle, on obtient 
la relation qui lie les longueurs des tangentes menées d’un point 
P à l'hypocycloïde (*) 
Ç | 1 | C 1 1 ( 1 1 | 1 
lilotz + ——— + — — — _+———|—= —: 
l2 ls in l l3 La l, Lo ls f 
b) On obtient par un caleul facile : 
MM; = {69° sin° A (sin? B + sin? C + 2 sin B sin C cos A) 
NN; = 16/* sin° A (cos* B + cos* C — 2 cos B cos CG cos A), 
(") M. Hadamard a démontré cette formule sous une forme un peu 
différente. (J. M. S., 1884, p. 226.) 
