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Considérons l’ellipse E décrite par le point B de la droite CD 
lorsque cette droite glisse de façon que ses extrémités C et D 
s'appuient constamment sur les côtés de l’angle CMD que nous 
supposons rendu immobile ; elle a pour demi-axes R/ +R, 
ÆE(R/—R), où R— OA,R’ — OM. Nous convenons de dire 
que les points B et M sont des points correspondants de l’ellipse 
et de la trochoïde. Cela posé, l’arc compris entre deux points 
de la trochoïde est le double de l’arc compris entre les points : 
correspondants de l’ellipse E. 
Faisons tourner d'un angle droit autour de leur … d’appli- 
cation les vitesses des différents points de la figure, et conve- 
nons de représenter par OA la vitesse de translation du point O. 
Le point M est animé de deux vitesses : une vitesse de transla- 
tion égale à celle du point O et une vitesse de rotation repré- 
sentée par MO; sa vitesse totale sur la trochoïde est repré- 
sentée par MA. 
Pour obtenir la vitesse du point B sur l’ellipse E, remarquons 
que le centre instantané de rotation de la droite CD est le point 
symétrique de M par rapport à O, et comme les vitesses des 
différents points de CD sont proportionnelles à leur distance au 
point I, il suffira de caleuler la vitesse de C pour connaitre celle 
de B. Rendons l'angle CMD immobile: il suflira pour cela de 
supprimer la translation parallèle à XY et d’introduire deux 
vitesses, à savoir : une vitesse égale et contraire à la vitesse de 
rotation du point M autour de O, et une vitesse égale et contraire 
à celle qui provient de la rotation de l'angle CMD autour de M. 
La première de ces vitesses est représentée par MO, et la seconde 
par _ car la vitesse de rotation de CM n'est quel Ê moitié de 
celle de OM. Ces deux JA étant représentées par © Leo ee , leur 
résultante le sera par © . ; il résulte de là que la CU du SD B 
est représentée par & ou ; celte vitesse est donc la moitié de 
celle du point M sur la trochoïde; cela démontre le théorème. 
2. Prolongeons MB d'une longueur BF égale à BM, et 
soit E’ l'ellipse décrite par F lorsque B décrit l'ellipse E. Les 
ellipses E et E’ sont homothétiques, et les ares correspondants 
