54 Histoire de l'Académie Royale 

 • même circonférence & la même aire; de forle que les divi- 

 fions étant poiifTécs jiilqu'à l'inliiii , il p.uoît nécclîaiic que 

 les circonlcrits d'un coté îk. les iylciils de l'autre le confon- 

 dent abfolument avec le Cercle. 



M. Saulmon démontre, que fi en faifint la divifion iks 

 arcs, eu, ce qui revient au même, en doublant le nombre 

 des côtés d'un Foligone quelconque inlcrit ou ciiconfeiit, 

 on vient à trouver parla formule générale, que la différence 

 du cjuarré du Rayon du Cercle, & du quarré du linus immé- 

 diatement précédent, ne (oit pas un quarré parfait, ce qui 

 emporte que la racine quarrée tle cette différence loit un 

 nombre incommenlurable; alors les circuits de tous les 

 Poligonesinlcrits & circonlcrits qui fuivront , feront incom- 

 nienlurables avec le Rayon du Cercle, & leurs aires incom- 

 menfurables avec le quarré de ce Rayon. £n un mot, i\ès 

 que par la voyc que nous venons de marquer, l'incommen- 

 furabiliié fera entrée dans un Poligone, elle (e maintiendra 

 dans tous les Poligoncs iuivants, tant à l'égard du circuit 

 que de l'aire. 



Cette incommendirabilité fc trouve prcfque toujours dès 

 le premier Poligone. Elle cil, par e.\eniple , dans le Triangle 

 équilatéral, dans le Quarré, dans le Pentagone; & s'il y a 

 quelque premier Poligone où elle ne foit pas , il eft lûr (|u'clle 

 entrera bien-tot dans quelque Poligone iuivant, après quoi 

 elle ne fortira plus de cette fuite. 



Redc à fçavoir fi elle fe foûticnt jufquc dans l'Infini, 

 c'efl-àdire, jufqu'au terme où les Poligoncs inlerits & cir- 

 conferits fe confondent avec le Cercle. Encecas, il (croit 

 certain que les circuits de ces Poligoncs , ou la circonférmce 

 du Cercle (croit incommenfurable avec le Rayon, & l'aire 

 du Cercle incommenfurable avec, le quarré du, Hayon. 



Le lujet d'en douter dl que i'incommenlurabililé cfc 

 deux granileurs confide dans un certain excès de l'une (ur 

 l'autre. Cet excès peut toujours demeurer égal, ou même 

 augmenter pendant une progreffion infinie; mais il peut 

 aufTi diminuer, &: alors il deviendi oit nul dans l'infini, & 

 l'incomnienluiabilitéceflcroit. 



