86 Mémoires de l'Académie Royale 

 poflérieure inf/iic ou (]ui efl après <^, l'aire du polygone fembla- 

 ble circonfcrtt, cjui correjpond à l'infcrit, ér' le quarré du diamètre 

 du cercle, font trois grandeurs continuellement incommcnjurables 

 entr elles ; leurs circuits & le diamètre du cercle, fout aujfi trois 

 grandeurs continuellement incommenfurables entr elles. 



DÉMONSTRATION. 



Le côté d'un polygone quelconque in(ciit peut s'exprimer 

 par z R, 8c fon quairé par ^ RR, en fuppofant R indéter- 

 miné. Or fi 4/? /? elt incomnienlurablc avec aa, RR l'efl 

 auin avec a a. Si par conféquent leur différence a a — R R 



l'eft aufli avec aa; donc a a R R n'cfl: pas alors un quarré 



parfait commenfurable .nccaa, donc par kCorol. j. chaque 

 ï'y de la fuite pollérieure infinie cfl auiïi incommenfurable 

 avec a a, & chaque V de la même fuite l'eft avec a; Si par 

 le Corol. 6. chaque YY l'eft avec TT, Si chaque Y l'cft 

 avec T; & par le Corol. y. chaque TT l'eft avec a a, ou 

 chaque T l'eft avec a : or quand deux grandeurs font incom- 

 menfurables , toutes les grandeurs commenfurablts avec l'une 

 des deux, font aiiftli ncominenfurables avec l'autre : Donc les 

 grandeurs qu'on vient de trouver incommenforables avec ^/, 

 ou avec aa, le font auffi avec 2 a diamètre du cercle, ou 

 avec4^2<2fon quarré. Mais l'aire d'un polygone quelconque 

 jnfcrit, celle du polygone fomblable circonforit, puis le quarré 

 du diamètre du cercle , font par toute l'étendue de la fuite 

 poftérieurc infinie ou qui cft après cf>, comme YY , TT, 

 /^aa dans le genre d'incommcnfurabililé , en tant que ces 

 grandeurs font rationnelles ou irrationnelles en général , ou 

 comme gtiR, zgnT, 16 a dans le rapport déterminé; Se 

 les circuits des mêmes polygones, puis le diamètre du cercle 

 font comme leurs racines ] , T, 2 a dans le genre d'incom- 

 mcnfurabilité : donc ces aires & le quarré du diamètre font 

 trois grandeurs continuellement incommenfurables entr'eilcs; 

 & à plus forte raifon, les circuits des polj'gones, puis le diamè- 

 tre du cercle font aiilfi trois autres grandeurs continuellement 



