244- Memoip.es de l'Académie Royale 



Sur les Courbes du premier Genre. 



Remarque I. Lorfque les racines d'une égalité dit 

 4.' degré font tontes réclits & pofiilvcs , clic eft toujours 

 un cas de celle qiii eft ici en A. 



A...x^ ax^ -H hxx ex ~\- dz=.^. 



Et fi dans le dcflcin de la conftruire, on prend pour le 

 premier lieu xx-=zhy; on a d'abord pour le fécond lieu, ou 

 une Eiiipfc ou une Hjpcrbûlc. 



Quand on ne fait la fjbftjtution que dans les deux pre- 

 miers termes de v^, on a le lieu à l'Eiliplê marqué B. 



B . . . hliyy — aJiyx — (— ^.v.v — ex -\- J'=. 9. 

 Et quand on fubflitue dans les trois premiers termes, on 

 a le lieu à l'hyperbole marqué C. 



C. . . hliyy ahyx H— hhy ex -4— tl-z:z 9. 



En conlbuiiaiu l'Ellipfè de B, l'hyperbole de C 8c h 

 parabole de .va ::r: /ly, fur un même axe & une même ori- 

 gine, les trois Courbes fe renconlrcront en aiitant de points 

 qu'il y aura de différentes racines dans A. Mais fi ces racines 

 font toutes réelles, toutes poiltives ou toutes négatives, & fj 

 avec cela elles font toutes inégales entr'elles; alors on verra 

 que les trois Courbes feront ca\es vers l'axe des y dans l'in- 

 ter\alle des quatre points d'intcrftc'lion. C'eft ce qu'il finit 

 expliquer pour préparer 6c conduire à l'intclligenec du pa- 

 radoxe en queftion. 



Eclairciffeniens & Preuves» 



Si l'on prend /, 2, j, ^, & fi l'on en fait les racines 

 d'une égalité du 4.* degré, cette égalité fera comme on le 

 voit en D. 



D . x* / * .V ' H— jj x X — y ox -+- -2^ :rr 9. 



Et comparant cette égalité D à l'égalité A, on aura 

 ti = / o, h ■= ^ y, c z=i y 0, Scd rz: 2^. 

 Siibflituant ces valeurs dans B Si dans C, on aura les L'cux 

 particuliers £, C. 



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