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deux Démonftrations différentes que ce Mémoire renferme. 

 La première de ces Démonftrations (êra plus longue, mais 

 plus direcfle que l'autre; j'ai cru ne la devoir point obmettre, 

 parce qu'elle contient des divifions & des fubdivifions de 

 cas pouflées plus loin qu'elles ne le font communément dans 

 les Démonftrations d'Algèbre. Quant à la féconde, elle a 

 fur-tout l'avantage de dépendre en partie d'une application 

 aflés finguliére de la Géométrie à l'Algèbre. Cette applica- 

 tion , que je regarde comme un principe fort fécond , me 

 fervira en particulier dans un autre Mémoire, où je lui don- 

 nerai plus d'étendue, à découvrir des régies générales pour 

 connoître le nombre des Racines réelles ou imaginaires, 

 pofitives ou négatives, dans une Equation quelconque, en 

 îuppofant néantmoins, fi la propofée eft d'un degré au deffus 

 du quatrième, & qu'elle ne doive avoir ni toutes fès Racines 

 réelles, ni toutes fo Racines imaginaires, qu'on fçache ou 

 réfbudre ou conftruire les Equations de degrés inférieurs. 



PREMIERE DEMONSTRATION 



DE LA RÈGLE DE DeSCARTES. 



L E M M E. 



Une E'quaùon quelconque n'ayant que des Racines réelles, fi Fig. i. 

 Ton prend dans cette E'quaùon trois termes confe'cutifs , dont le 

 premier & le dernier ayent le même Jîgne, & dont les coëpcients 

 foicnt refpeâivemcnt F, G & H , leurs expofants étant tels qu'on 

 voudra, le quatre du coëficient intermédiaire G fera ne'cejjairement 

 plus grand que le reâangle F H des deux coefficients extrêmes, 



DÉMONSTRATION. 



Soit l'Equation propofée celle qu'on voit à la Figure 

 première ; qu'on écrive de fuite au deflbus d elle toutes les 

 progreffions arithmétiques afcendantes qu'on apperçoit dans 

 cette Figure, de façon que la pi-emiére de ces progreffions 

 ayant commencé au i ." terme de la propofée , la /êconde 

 au 2.'', la troifiéme au 3.™% &. ainfi de fuite, on parvienne 



