DES Sciences. cj^ 



DÉMONSTRATION. 



Soit S le nombre des variations de la propofee , & la 

 multipliant par un nombre s de progreffions arithmétiques 

 convenables , on parviendra , ainfi qu'on l'a prouvé dans le 

 Corollaire du Théorème fécond, à un produit qui, étant 

 réduit en Equation , ne pourra avoir aucune Racine pofitive 

 réelle. Donc, félon le Corollaire du Théorème troifiéme, 

 la propofée n'en pouvoit avoir au pltjs qu'un nombre =; ». 

 H- s, ou s. C. Q. F. D. 



THEOREME V. 



La propofée ne peut avoir plus de Racines réelles négatives 

 que de permanences. 



DÉMONSTRATION. 



Qu'on change de -j- en — ^, & de — en -f- les fignes 

 de tous les termes pairs de la propofée , & toutes \ts com- 

 binaifons de la propofée fê changeront par-là de permanence 

 en variation, & de variation en permanence, ainfi que nous 

 l'avons déjà obfervé dans le fécond Théorème de la pre- 

 mière Démonftration. De plus , quoique la propofée puifîê 

 avoir à préfent des Racines imaginaires, ce que nous ne 

 fuppofions point alors, il n'en fera cependant pas moins vrai 

 que toutes fo Racines deviendront de pofitives négatives, & 

 de négatives pofitives , puifqu'après fe changement elle aura 

 pour Racines les valeurs de — x, & non celles de x , comme 

 auparavant. Or après ie changement elle ne pourroit, fui^ 

 vant le dernier Théorème, avoir plus de Racines pofitives 

 réelles que de variations. Donc avant le changement elle 

 ne pouvoit avoir plus de Racines réelles négatives que de 

 permanences. C. Q. F. D. 



THEOREME VI. 



Qui contient la Règle de Descartes. 



Si la propofée n'a que des Racines réelle^ , elle en aura nér 

 cejfairement autant de pofitives qu'elle dura de variations, &<. 

 autant de négatives qu'elle aura de permanences, ' . ^j ^^ç^viQ; 



