p4 Mémoires de l'Académie Royale 



DÉMONSTRATION. 



La propofce, fuivant lu nippofilion, ne peut avoir de 

 Racines imaginaires ; & aind die doit avoir autant deRacines 

 réelles, pofilives ou n(:fgatives, que de combinaifons. Mais 

 par le Tlicoreme quatrième , elle ne peut avoir en général 

 plus de Racines pofttives réelles que de variations. Donc elle 

 ne peut avoir moins de Racines réelles négatives que de 

 permanences. De même la propofce ne pouvant en général, 

 îèlon le Théorème cinquième, avoir plus deRacines réelles 

 négatives que de permanences , on prouvera que, puifquc 

 dans la fuppofition préfente elle n'a point de Racines ima- 

 ginaires , elle ne peut avoir moins de Racines réelles pofi- 

 tives que de variations. Donc la propofée , dans la fuppo- 

 fition préfente, ne peut avoir ni plus ni moins de Racines 

 pofitives que de variations , & femblablement elle ne peut 

 avoir ni plus ni moins de Racines négatives que de perma- 

 nences. Donc elle devra avoir exactement autant de Racines 

 pofitives que de variations, & autant de Racines négative* 

 que de permanences. C. Q. F. D. 



COROLLAIRES 



DE LA Règle de Descartes. 

 Corollaire I. 



S'il manque quelque terme dans la propolee, & que refli- 

 tuant fucceflivement ce terme manquant, en lui donnant 

 d'abord -f- o, &; puis — o, pour flifleur, ces deux refti- 

 tutions fuccefîives faffent naître dans la propofée des nom- 

 bres différents de variations & de permanences , ce fera une 

 marque qu'il y aura nécelfairement dans la propofée des 

 Racines imaginaires. En effet, fi l'on vouloit fuppofèr de 

 plus dans ce cas que la propofée pût avoir toutes fes Racines 

 réelles, cette nouvelle fuppofition conduiroit, au moyen de 

 la Régie de Defcartes , à deux conclufions fur le nombre 

 des Racines , qui feroieut contradidoires l'une à l'autre. 

 Donc &c. 



