^66 Mémoires de L'AcAOEMfE Royale 

 il faiitlni d'abord pour cela multiplier (iicceinvement chacuriG 

 des diffcrences de lapropofce, à cominencer de la dernicre, 

 par la diffcrence fiipcrieure de deux degrés, &. faifant enfuite 

 ce produit moins une indéterminée r égal à zéro, on com- 

 biiiera l'équation qui réfiiltera de cette fiippofition avec celle 

 qu'on peut former de la différence mitoyenne, en égalant 

 fimplement cette différence à zéro, c'eft-à-dire, que de ces 

 deux équations nouvellement formées, on en déduira une 

 troifième où la lettre .v ne fe trouvera plus, dont la lettres 

 fera l'inconnue, & que j'appellerai, pour abréger, \ équation 

 en r. J'ai donné dans mes Ufiges de l'Analyfe deDefcartes 

 des moyens fort flmples de déduire ainfi généralement une 

 équation de deux autres qui contiendroient une lettre de plus 

 qu'elle ne doit en contenir. 



Or il eft facile d'aj^percevoir que chaque équation en r 

 doit être du même degré que l'équation faite de la diffé- 

 rence mitoyenne correfî^ondante, & qu'elle doit avoir toutes 

 fes racines réelles , fi celle-ci n'en a que de réelles : car la 

 Jettre ;• exprime ce que devient le produit des deux diffé- 

 rences voifines de la mitoyenne , lorfqu'on fubftilue dans ce 

 produit , à la place de .v , les racines de l'équation formée 

 de la différence mitoyenne. 



Cela pofé, il faudroit examiner i .° fi la dernière équation 

 en r, qui doit être du i.<='' degré, donneroit une valeur de r 

 négative, première condition néceflairepour que la propofée 

 ait toutes fes racines réelles; 2.° il s'enfuivroit de- là que 

 J'équation faite de l'antépénultième différence, & qui eil du 

 i.*^ degré, auroit fes deux racines réelles, ce qui donneroit 

 auffi deux racines réelles à la pénultième équation en r, qui 

 efl auffi du 2A degré ; 3.° on examineroit fi cette équation 

 en r du zA degré auroit fes deux racines négatives, ou fi 

 tous fes termes y auroient le figne-j- , féconde condition 

 Jiéceffaire pour que la propofée n'ait que des racines réelles ; 

 4.° il s'enfuivroit de-l<à que l'équation faite de la différen- 

 tielle du 3.'"« degré n'auroit auffi que des racines réelles, ou 

 que l'antépénultième équation en r, qiii efl auffi du ^."^^ 



