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degré, n'auroit fêmblablement que des racines réelles; 5 .° on 

 examlneroit û cette antépénultième équation en r n'auroit 

 que des racines négatives, ou û elle auroit par-tout lè 

 figne -4— . . . &c. 



Or, en fuivant ce procédé, on s'appercevra lâns peine 

 qu'il peut le réduire à la règle fuivante. 



TROISIEME REGLE. 



Si tous les termes de toutes les équations en r, déduites 

 de la propofée, ont le figne -f- , la propofée aura toutes ks 

 racines réelles; mais û quelqu'un des termes de quelqu'une 

 des équations en r a le ligne — , il y aura néceîiàireraent 

 en ce cas des racines imaginaires dans la propofée. 



Exemple. 



Soit propofée x^-i-px-+-tj=zo. Pour avoir l'équation 

 en r, il faut fubftituer la valeur de x prilê de la première 

 différence, fçavoir — j;p, à la place de x dans zx'^-^zpx 

 -h- 2 // — r=z G , ce qui donnera ^pp — pp -+- 2 ^ — r 

 = , ou r — 2 ^ -f- jppz=:o, dont le fécond terme fera , 

 ou ne fera pas de même figne que le premier, félon que ^pp 

 fera, ou >, ou < que ^; de forte qu'on peut en conclurrc 

 que les racines de la propofée commenceront à être imagi- 

 naires , lorfque ^ commencera à être > ^pp ; d'où il s'en- 

 fuit que fi q eft négatif, il ne pourra y avoir dans la propofée 

 que des racines réelles. Je m'en tiens à cet exemple , pour 

 ne point anticiper ici fur les applications que je dois faire 

 dans peu de mes Méthodes aux Equations du 3."»* & du 

 ^..me degré. 



Remarque VI. 



Si après avoir examiné une propofée quelconque de la 

 manière que je viens de décrire , on trouve que cette pro- 

 pofée n'a que àes racines réelles, la règle de Defcartes fera 

 connoître alors combien cette propofée a de racines poli- 

 tives & négatives; & comme ce n'efi que dans ce cas que 



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