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de ce terme. Or pour le faire d'une manière abrégée , rappel- 

 ions - nous ce que nous avons dit plus haut , que le poly- 

 nôme j' -t- x/' ■^'' • • Sec- tle notre cinquième condition des 

 racines réelles, fi on le fuppofoit égal à zéro, fèroit la con- 

 dition qui donneroit des racines égales à la propofée, c'eft- 

 à-dire, qu'il exprimeroit alors la réfultante de la propofée 

 ■ fc'''*-{-px^-h-^x-i-s = o, & de fa première différentielle 

 x^ *~\-ipx-h- j^ = o. Mais cette dernière réfultante ne 

 doit différer de la réfultante de x'''*~i-px''-i-^x-\-s — n 



&A'' *-f-f/>A--f-j^=:o, qu'en ce que s — ^ dans 

 celle-ci eft reprélènté par I'j de l'autre. Donc fi l'on fubftitue 

 s — -y à la place de s dans le polynôme ci-deffus, il doit 

 naître de cette fubftitution la réfultante en y. Enfin il s'en- 

 fuit encore de-là que le dernier terme que nous cherchons 

 de cette réfultante en y, n'eft autre choie que le polynôme 

 ci-deffus, pris négativement. 



Donc fi ce polynôme, après y avoir fubftitué les valeurs 

 pofitives ou négatives de p, q, s, propolees , fè trouve 

 négatif ( nous fuppofons toujours deux racines imaginaires 

 à la première différentielle de la propofée ) , en ce cas fa 

 propofée aura deux racines réelles & deux racines imagi- 

 naires ; mais fi dans les mêmes fuppofitions ce polynôme 

 fe trouve pofitif, la propofée aura alors quatre racines ima- 

 ginaires ; de iorte qu'on peut toujours dans le 4.""= degré 

 déterminer le nombre des racines réelles de la propofée, 

 îorfqu'elles ne le doivent pas être toutes, fans réfoudre même 

 une équation du 3 .•"« degré , & n'employant à cela , ou 

 bien que la règle de Defcartes, fi /? efl négative & "èp', 

 > 27 q^ , ou bien que la confidération du leul polynôme 

 j' — \p'' s'... &G. de la cinquième condition ci-deffus, 

 . s'il arrive, ou que/7 fbit pofitive, ou que 8/7' foit < zj q''. 



La réduite de Defcartes ne pouvant, dans \ts cas dont il 

 eft ici quefiion , avoir trois racines réelles & pofitives , puiP 

 que par hypothèfe les quatre de la propofée ne font pas 

 tout à la fois réelles, le P. Preftet prefcrit d'examiner fi cette 



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