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representa una superficie cuando el punto A varía; ó, de 

 otro modo, dicho punto describe una superficie cuando va- 

 rían las distancias p, q, r, s satisfaciendo á la ecuación /=• 0. 



Esto se ve claramente, expresando las cuatro distancias 

 por las coordenadas de los cinco puntos. 



Designando, en efecto, por x, v, z las coordenadas de A; 

 por a t ,b u c u las de p ; y así sucesivamente, claro es que la 

 ecuación podrá expresarse de este modo 



f{p, q, r, s) =/ [V(* - O 2 + (y -~WH (* - Ó 2 . 

 V(x^"fl s ) a -{-(y- b 2 ) 2 + (z - c s )*, ] = 0; 



y como no quedan más que tres variables x, y, z, y la ecua- 

 ción es única, no cabe duda que representará una superficie 



F{x,y,z) = 0. 



Y ahora deberemos establecer el siguiente lema: 

 Si de la función /= se toman las cuatro derivadas par- 

 ciales con respecto áp, q, r, s, á saber: 



df df df df 



dp dq dr ds 



y se llevan sobre las prolongaciones de las rectas AP, AQ, 

 AR, AS, si son positivas dichas derivadas, ó en sentido 

 contrario, si son negativas, y si considerando á dichas lon- 

 gitudes como fuerzas, se halla la resultante de todas ellas, 

 ésta resultante será normal á la superficie F que describe el 

 punto. 



Es evidente que en vez de tomar dichas derivadas, hubié- 

 ramos podido tomar cantidades proporcionales, porque la 

 dirección de la normal siempre hubiera sido la misma. 



Si consideramos á / como lo que es, como una función 



