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Esta relación demuestra, considerando ahora todos los 

 residuos cuadráticos iguales y desiguales que da la serie de 

 un sistema completo de restos respecto al módulo n, que 

 su suma es divisible por n si n no lo es por 3, pues si lo 



fuese, hay en el segundo miembro el término , puesto 



2 2 1, . n 



que — = — = — , y la suma es congruente con , 



t 3 6 3 3 



según el módulo n. 



Podemos llegar al mismo resultado á que llega el señor 

 Lerch por una vía más elemental, pues la suma de cuadra- 

 dos (congruente con la de residuos cuadráticos) es 



s _^ /!(/!— 1) (2/1— 1) 



y al ser el número impar n no divisible por 3, es primo con 6, 

 y se tendrá: «S = multp. n. 



Si n es múltiplo de 3, no se puede hacer el razonamiento 

 anterior; pero se puede establecer haciendo n = 3p: 



S + p 



3p(\8p 2 ~9p — 3) 

 6 



18/7- — 9/7 — 3 



y se ve que el factor — - — — es entero, pues es 



6 



igual á 3p 2 £— t — t resulta, pues, S -[ -.= multp. n, 



ó bien 5 = — — (mód. n). 

 * o 



Puede también observarse que, aun en el caso de ser a 

 par, si lo que se pretende es estudiar como antes la suma de 

 todos los residuos cuadráticos iguales ó desiguales que ori- 

 gina un sistema completo de restos, la investigación es com- 

 pletamente elemental, y se ve que, en este caso, no puede 



