- 341 — 



ángulo nulo, no coinciden, lo primero' que se ocurre á cual- 

 quiera es que esas propiedades pueden convenir con la defi- 

 nición adoptada de línea recta; pero, indudablemente, dicha 

 definición no contiene todos los elementos necesarios para 

 caracterizar lo que todos entendemos por línea recta. Esto 

 nos conduce á una discusión filosófica interminable sobre la 

 naturaleza metafísica de la línea recta, que ha hecho resuci- 

 tar todas las antiguas polémicas sobre la constitución del es- 

 pacio, y en que (dado que sean de alguna utilidad), no es 

 posible entrar á los matemáticos de profesión. 



En estas memorias me propongo demostrar que la geome- 

 tría noeuclidiana puede ser estudiada sin incurrir en dichas 

 paradojas, repugnantes á nuestro modo de concebir los ele- 

 mentos geométricos, y que, sea lo que fuere del problema 

 filosófico de la constitución del espacio, puede establecerse 

 una métrica tan racional y tan práctica como la de Euclides, 

 sin necesidad de apoyarse en la teoría vulgar de las para- 

 lelas. 



§ 1.° 

 Bases geométricas del problema. 



1. Admiteremos que: 



a) Dos puntos cualesquiera del espacio determinan la 

 posición de una línea, á que daremos el nombre de recta. 



b) Un punto y una recta determinan la posición de una 

 superficie, á que llamaremos plano. 



c) Dos planos cualesquiera del espacio determinan la po- 

 sición de una recta. 



De estas tres proposiciones, se deducen las siguientes: 



Un plano queda determinado 

 por dos rectas con un punto co- 

 mún ó por tres puntos. 



Un punto queda determinado 

 por dos rectas con un plano co- 

 mún ó por tres planos. 



Un plano y una recta cualesquiera determinan la posición 

 de un punto. 



