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Si fijamos tres elementos x lf X 3f x 3 arbitrariamente, á cada 

 valor de x 4 corresponde uno y uno sólo de >.. En este caso '/. 

 puede ser la abscisa del mismo elemento representado por x 4 . 

 Los tres elementos fijados arbitrariamente se llamarán ele- 

 mentos de referencia. Sabemos que las coordenadas "/. cum- 

 cumplen también con la condición [1], cuando se trata de 

 cuatro rayos de un haz harmónico. 



Además, los cuatro valores de Xj correspondientes tam- 

 bién cumplen con la condición [1]. Por consiguiente, dos ha- 

 ces X, Y, cuyos rayos tienen relacionadas sus abscisas de 

 suerte que las razones dobles de cuatro cualesquiera de los 

 elementos de uno de ellos sean iguales á las de los cuatro 

 correspondientes del otro, son proyectivos, en el sentido 

 geométrico de esta palabra (núm. 7). En efecto, á un rayo 

 de uno de ellos corresponde uno y sólo uno en el otro, y á 

 un haz harmónico corresponde otro. Igualando, pues, las ra- 

 zones dobles de cuatro elementos, los tres de referencia y 

 uno variable x,y, verificando operaciones y llamando A, B, 

 C, D cuatro funciones de las constantes x t x 2 x :} , y^y^y* I a 

 condición para que los haces X Y sean proyectivos, es que, 

 entre las abscisas x y de sus rayos correspondientes exista 

 una relación bilineal de la forma 



Axy + Bx+ Cy + D=0. [2] 



A esta condición hay que añadir que AD ^ BC para 

 que haya correspondencia unívoca. 



14.— Si X é Kson dos haces de i Sean U, y dos haces de rectas 

 planos (dados por sus aristas) i planos (dados por sus planos) 

 proyectivos, en el caso particular proyectivos; en el caso particu- 



en que el plano XY común sea 

 también doble, los dos haces son 

 perspectivos y, por consiguiente, 



lar en que la recta U V común 

 sea también doble, los dos haces 

 son perspectivos y, por consi- 



proyectivos; es decir, que las guíente, proyectivos; es decir, 



abscisas de cada par de rayos que las abscisas de cada par de 



correspondientes deben estar li- rayos correspondientes deben 



gadas por la relación [2], la cual estar ligadas por una relación de 



