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debe quedar satisfecha para las 

 soluciones x = m, y = n, siendo 

 m, n las abscisas del plano doble 

 X Y.Y recíprocamente una ecua- 

 ción bilineal que tiene la solución 

 x = m, y = n representa un haz 

 de rectas perspectivo de los dos 

 de planos, cuyo plano común y 

 doble tiene las abscisas m, n. Es 

 decir, que la ecuación [2] repre- 

 senta un plano, puesto que cada 

 solución nos da un rayo de un 

 haz plano de rectas como inter- 

 sección de dos planos correspon- 

 dientes de los haces XY pers- 

 pectivos. 



Podemos, pues, hacer que un 

 plano venga dado por una ecua- 

 ción de primer grado con sólo 

 convenir en dar al plano XYlas 

 abscisas x = co, y = 00; y si se 

 verifica esta condición, toda ecua- 

 ción de la forma 



Ax + By+C = [3] 



representa un plano. 



la forma [2], la cual debe quedar 

 satisfecha para los valores u = s, 

 v = t, siendo s, t las abscisas de 

 la recta doble uv. Recíproca- 

 mente, una ecuación bilineal que 

 tiene la solución u = s, v = r re- 

 presenta un haz de planos pers- 

 pectivo de los dos de rectas, cu- 

 ya recta común y doble tiene las 

 abscisas s,t. Es decir, que la 

 ecuación [2] representa una rec- 

 ta, puesto que cada solución nos 

 da un rayo de un haz de planos 

 como el determinado por dos rec- 

 tas correspondientes de los haces 

 u, v perspectivos. 



Podemos, pues, hacer que una 

 recta venga dada por una ecua- 

 ción de primer grado con sólo 

 suponer que las abscisas de la 

 recta son u = 00, v = 00; y si se 

 verifica esta condición, toda ecua- 

 ción de la forma 



au + bv + c = Q [4] 



representa una recta. 



Luego una misma ecuación de la forma 



ux -j- vy + wz == 



[5 



en coordenadas homogéneas, nos representará un plano ó 

 una recta, según que tomemos por variables las cantidades 



— , — , ó las — , — . A las primeras llamaremos coordena- 

 z z w w 



das de rectas, á las segundas coordenadas de planos ó tam_ 

 bien tangenciales. 



15. Tratemos de hallar ahora las relaciones que enlazan 

 á las coordenadas de un elemento, referidas á dos haces de 

 referencia, con las coordenadas del mismo referidas á otros 

 dos haces, ó sea tratemos de resolver el problema de la 

 transformación de coordenadas. 



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