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Haciéndolo y verificando operaciones, la [12] se convierte 

 en una ecuación de segundo grado en X, cuyo segundo tér- 

 término tiene por coeficiente 



— x 1 (2Ax 2 + 2Hy 2 + 2G) —y x {2Hx 2 2By 2 -{ 2F)~ 

 (2Gx 2 t 2Fy 2 + 2C). 



Cada una de las dos raíces de >^, nos da una de las dos 

 generatrices comunes al plano determinado por las rectas 

 (*i ^í) (*2 A') y a l cono [12]. Pero según el núm. 17, si es- 

 tas dos generatrices han de formar con los rayos (x t y i) (x 2 y*) 

 un haz harmónico, las dos raíces de la ecuación de segundo 

 grado en X han de ser iguales y de signo contrario, lo que 

 exige que el coeficienie del término de primer grado en X sea 

 nulo, y, por consiguiente, que las coordenadas (jc, Vj) (x¡y 2 ) 

 anulen el polinomio anterior. Esta condición, en la hipótesis 

 de que la [12] esté escrita en coordenadas homogéneas, pue- 

 de escribirse 



x^-f-y^Vl ^'--., = 0'. [131 



Si x 2 y 2 z 2 son constantes, x x y t z, coordenadas genera- 

 les, la [13] representa el lugar geométrico de todas las rectas 

 conjugadas armónicas de la x, y 2 z 2 con respecto á la super- 

 ficie cónica [12] y por ser de primer grado demuestra que 

 este lugar es un plano, el polar de la recta x. 2 y, z 2 , como ya 

 sabíamos. 



De una manera correlativa podemos demostrar que el lu- 

 gar de todos los planos conjugados del u 2 v 2 w 2 , con respec- 

 to á la superficie cónica de segunda clase, dada por el haz 



(A )(í/rw)- = [14] 



En la notación de Cayley, la ^12] puede escribirse: 

 (a Xxyz) 3 = 0, y la [131 (a Xx,)^, + x,y 9 z 2 ) - 0. 



