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El plano polar de la recta (x l y t z x ), con respecto al abso- 

 luto, es el representado por la ecuación 



*i* + y x y + z x z = 0, 



que es perpendicular á su polar, y, por consiguiente, expre- 

 sa la condición para que dos rectas, (x t y x z t ) y (x y z) sean 

 perpendiculares. 



La condición para que lo sean los planos cuyas coordena- 

 das son (u^ v x w t ) y (u v w), es: 



«!« -j- v{v + W{W = 0. 

 El coseno circular ó hiperbólico del ángulo formado por 



las rectas (x^y^z^ y (x a y t z») es 



los planos (u ¡ v 2 w,) y (u., v 2 w 2 ) es 



u l u s 4- v t Vj + w, w 2 [34J 



\Ju\ + V 2 , + w\ \u\, + V 2 ,, + IV 2 , 



Los senos circulares ó hiperbólicos de las mismas cantida- 

 des serán, pues, según las [28] y [31], 



\(yiz.—y j z- ¡ y-+(z 1 x,-z,x 1 y-+(x 1 y,—x i¡ y 1 y- 



^x\+y\ + z\ VxVFPs+z 2 , 



\'(v 1 w^v. 2 w i y-+(w l u.,-i w,üi) 2 + («iV,— ü*vj 2 



^u\-\-v\+w\ V« 2 ., fv 2 ,+w 2 2 



que pueden también escribirse, designando por 



uv w las coordenadas tangencia- 

 les del plano común á las dos 

 rectas, 



YV+v 2 +w 2 



Vx 2 ,+y 2 1 +2 2 1 ^x\,+y\_+z\ 



xyz las coordenadas de rectas 

 de la recta intersección de los 

 dos planos, 



y/x 2 +/+z2 



V^.+v^+u^V^+v^+iv 2 , 



[35] 



[36] 



27. Tratemos de hallar la distancia angular entre una 

 recta (x, y, z), y un plano (u, v, w). Y, para ello, observe- 

 mos que, si la llamamos o- 



eos 9 



= sen í — — <7 ). 

 V2 ) 



