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Pero como -^- representa un ángulo recto, el coseno del 



ángulo que buscamos es igual al seno de su complemento, ó 

 sea al seno del ángulo formado por la recta (x, y, z), con la 

 polar del plano (u, v, w), con respecto al absoluto. Esta po- 

 lar viene representada por la ecuación 



u i u + v i v + w t w = 0; 



y, por consiguiente, sus coordenadas son precisamente u, v 

 y w, según la advertencia final del párrafo 14. Por tanto, la 

 distancia angular de la recta (x,y, z), al plano (u, v, w) 

 es el complemento de la distancia angular de dos rectas que 

 tuviesen por coordenadas respectivamente estas mismas can- 

 tidades; por tanto, 



*i"i +yi*i -\- z l w í 

 <7 = ar. sen * [371 



\ z\ + y\ + z\\ u\ + v\ + w\ 



28. De lo dicho se saca fácilmente la condición de per- 

 pendicularidad de dos elementos cualesquiera, dados por sus 

 coordenadas ó por sus ecuaciones. Así, por ejemplo, la con- 

 dición para que dos rectas 



ax -f- by -f cz = 0, 

 a'x -\- b'y -j- c'z = 0, 



sean perpendiculares, es que 



aa -J- bb' -\- ce' = 0. 



Las expresiones [36] nos dicen que: 



Todas las rectas situadas so- Todos los planos que pasan 



bre los planos tangentes al cono por las generatrices del cono ab- 



absoluto forman entre sí ángulos soluto forman entre sí ángulos 



nulos, aunque no se confundan, nulos, aunque no se confundan, 



puesto que las coordenadas tan- puesto que las coordenadas de 



genciales del plano que ellas de- la recta que determinan dos de 



terminan anula el seno del ángu- ellos anulan el seno del ángulo 



lo que los separa. que los separa. 



