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Ahora nos encontramos ya en estado de poder determinar la 

 forma de dicha función y, por consiguiente, la manera de 

 construir geométricamente un elemento dado por sus coor- 

 denadas ó por su ecuación y la significación de los elemen- 

 tos de referencia. 



Para ello determinemos el valor de las coordenadas ho- 

 mogéneas, haciendo 



U 2 _j_ V 2 _j_ W 2 = ± #2 (i) r 43 ] 



donde R es una constante arbitraria. 



El signo de R 2 , que pudiera parecer arbitrario, no lo es, 

 como vamos á demostrar, siendo preciso escoger el signo 

 positivo, si adoptamos las razones trigonométricas circula- 

 res, en la expresión de las distancias angulares en función 

 de las coordenadas, y el signo negativo, si adoptamos las 

 hiperbólicas. 



En efecto; según las expresiones [10], párrafo 16, 



^=^{y 1 z 2 -^y 2 z^=y\z\-^y\z\— 2y 1 y 2 z 1 z % 



v'^=(x 2 z l — x í z 2 ) 2 = x 2 2 z 2 í ±x\z\— 2x x x, z^z., [44] 

 iv 2 = (x t y 2 - x 2 y^ 2 = x 2 1 y 2 2 -^x 2 2 y 2 1 — 2x t x 2 y x y 2 , 



Expresiones que, sumadas, teniendo en cuenta la [43], 

 dan 



±R*=(x\+y\+z* L )(x* 2 +y* s +z* z )-(x 1 x 2 i yiy*+zi* 2 ) a . 



De aquí, y de las [34], resulta que el coseno circular ó hi- 

 perbólico del ángulo formado por 



1 Téngase presente que aunque hubiéramos podido poner tam- 

 bién x 2 -{-y 2 + z- = ± r 2 , como después diremos, no pueden ambas 

 condiciones verificarse á la vez, porque [43] determina el valor, no 

 sólo de w, sino también el de z. 



