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binariamente, resulta que la geometría noeuclidiana de la 

 radiación es independientemente de la llamada constante es- 

 pacial, y cierta en las tres clases de espacios metageomé- 

 tricos. 



Segunda consecuencia.— De los mismos principios, se de- 

 duce en segundo lugar, que á toda proposición de geometría 

 plana, noeuclidiana, corresponde una proposición de geome- 

 tría angular de la radiación sin excepción alguna. Provisto 

 de esta clave puede, pues, el lector emprender el estudio de 

 los trabajos de todos los geómetras noeuclidianos, seguro 

 de encontrar en ellos multitud de teoremas importantes de 

 geometría angular, resueltos, á veces, con una novedad y 

 elegancia admirables. Como ejemplo, que puede familiarizar- 

 se con esta clase de ejercicio, citaré una Memoria famosa de 

 Newcomb l , donde, haciendo la traducción conveniente, en- 

 contrará el lector fácilmente muchos de los teoremas y pro- 

 piedades demostradas en el § 6.° de esta Memoria. 



Tercera consecuencia.— Lo dicho nos permite dar una 

 nueva demostración del famoso Teorema de Lobatchefsky, á 

 saber: El postulado de Euclides es indemostrable. En efecto, 

 el tal postulado puede, en vista de lo demostrado en esta 

 Memoria, plantearse así: De las definiciones fundamentales 

 se deduce que entre el plano y la radiación de vértice propio 

 existe una diferencia esencial; aquél tiene una recta en el in- 

 finito, por lo que sólo le es aplicable la geometría euclidiana; 

 la radiación propia no tiene elementos en el infinito, por lo que 

 sólo le son aplicables las geometrías de Riemann y de Lobat- 

 chefsky. 



Lobatchefsky dice que esta proposición es indemostrable; 

 yo creo que sería más exacto decir que es falsa. En efecto; 

 de las definiciones del núm. 1 no se sigue, ni puede seguir- 

 se, que entre el plano considerado corno lugar de puntos y 



1 Elementar y theorems relating to the gcometry o/a space ofthree 

 dimensions, etc. Journal... von Crelle, 1877, t. LXXXIII, pág. 293-30'). 



