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Cuarta consecuencia.- - Sin indicar siquiera las distintas 

 soluciones que pueden darse á este problema, establezcamos 

 una consecuencia importante que se sigue ya desde luego de 

 esta nueva manera de plantearlo. La compatibilidad lógica 

 de los distintos sistemas geométricos con las definiciones 

 fundamentales de recta y plano y punto no basta para ase- 

 gurar que dichos sistemas son aplicables indistintamente al 

 plano ó á la radiación. En efecto; hemos visto que la geome- 

 tría euclidiana no es aplicable á la radiación de vértice pro- 

 pio; luego, por idéntica razón, las geometrías no euclidia- 

 nas podrían no ser aplicables al plano. 



De aquí se sigue la distinción importantísima entre geome- 

 trías no euclidianas y concepciones no euclidianas del espa- 

 cio. Hemos visto que las teorías no euclidianas, aplicadas 

 exclusivamente á la radiación, no se oponen en nada á la 

 concepción euclidiana del espacio. Puede, pues, admitirse la 

 exactitud absoluta de las geometrías no euclidianas y, al mis- 

 mo tiempo, la verdad de la concepción euclidiana del espa- 

 cio con tal de que, al mismo tiempo, se admita también que 

 dichas teorías son aplicables sólo á la radiación y mediante 

 una métrica angular. 



El problema de las geometrías está, pues, definitivamente 

 resuelto en favor de los geómetras no euclidianos. Indudable- 

 mente, sus geometrías son ciertas, son independientes de la 

 teoría de las paralelas, equivalentes á la geometría de Eucli- 

 des, por lo que toca á las aplicaciones prácticas, y aun aña- 

 diré que, para mi gusto particular, son más ingeniosas y más 

 sintéticas que aquélla. 



¿Puede decirse otro tanto del problema de la concepción 

 filosófica del espacio? Por ahora contentémonos con hacer 

 constar que el teorema de Lobatchefsky nada nos dice sobre 

 este segundo problema. 



En segundo lugar, y más como un ensayo que someto á 

 la aprobación del lector, que como una proposición demos- 

 trable, he establecido en el párrafo último una definición de 



