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La primera línea del esquema contenido en dicho cuadro 

 representa las potencias de p en y m ; la segunda, lo mismo 

 respecto á y. En esta línea observamos que, descomponiendo 

 los términos de y m en dos factores, uno racional y otro irra- 

 cional, los términos de y pueden empezar bajo p r ] ^^kp; 

 p 2mhx = k-p, etc., y acaban bajo p '" + 0» -n = kp m ~ u , 

 p2m+(m~u — k-p m ~\ etc. 



La tercera línea corresponde á y-, y también la cuarta; 

 esta potencia puede empezar bajo p m 1 2 = kp 2 ; p' 2m+2 =k-p 2 , 

 etcétera, acabando ba\o p ? ' m ~ 2 =k 2 p m ~ 2 ;p ím ~ 2 =k n p m ~ 2 , etc. 



Teniendo en cuenta nuestro Lema y el primer caso del 

 Teorema segundo, el adjunto cuadro es por sí solo una de- 

 mostración; pero, para llegar al más absoluto rigor en el ra- 

 zonamiento, observaremos que el primer término de la po- 

 tencia m ésima del segundo miembro de la ecuación [14] es 

 a m p m =a m k; y siendo k imposible de descomponer en fac- 

 tores, de los cuales uno sea racional, este término ha de 

 subsistir en la ecuación racional que nos proponemos ha- 

 llar. Lo mismo diremos de los demás términos racionales, 



A: 2 , A* 8 k m ~ l ; y como las m — 2 primeras potencias de y 



empiezan por un término irracional ap, a 2 p 2 a m ~ 2 p m ~ 2 , 



es evidente que la descomposición que pretendemos hacer 

 de los términos de (I r ) m , para buscar los múltiplos racionales 

 de y, y 2 y m ~ 2 , no solamente no puede empezar bajo nin- 

 gún término racional de (¡ r ) m , sino que precisamente ha de 

 empezar, para la primera potencia de y, en los términos que 

 tienen la forma p mnArl = k' 1 p; para y 2 , enp mn h2 ^=k n p' 2 , etc.; 

 y, como el exponente de p, en todas las potencias de y, va 

 creciendo unidad por unidad, sin saltos ni retrocesos, deci- 

 mos que ma m ~ l bp m + \ segundo término de (/r)" 1 , sólo pue- 

 de ser múltiplo racional de ap, primer término de I r ; y, por 

 lo tanto, no podría hacerse racional la ecuación, si en la 

 ecuación final no hubiese un término 



ma m ' 2 bky = ma m - 2 bp m {ap ~\-bp 2 + 



