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A favor de estas leyes que rigen á la composición del cua- 

 dro de las potencias de I r , indicada en el esquema, podemos 

 reducir á la mitad el trabajo de eliminación de términos irra- 

 cionales, pues basta que, sirviéndonos de dicha conocida 

 fórmula, desarrollemos las potencias de I r , hasta obtener la 

 mitad de sus términos consecutivos, empezando por a n p n , en 

 orden ascendente de las potencias de p; ó, por h n p^ m ~^ n , en 

 orden descendente (*), con lo cual podremos hallar directa- 

 mente la mitad de los términos de los coeficientes de y, en la 

 ecuación final, y establecer la otra mitad por la sencilla ley 

 de la simetría. Y es de advertir que cualquiera de las demos- 

 traciones que hemos aplicado, partiendo de uno de los extre- 

 mos de la ecuación, es aplicable al otro. 



También podemos dar una nueva demostración de que la 

 ecuación racional carecerá de término que contenga á y m ~ l . 

 Efectivamente, el último término de (/,-)'" es 



(hp m - l )™ = h m p ml -' n ; 

 y el último término de (/,-)"' ' seria 



(fjpm — l\m— 1 __ frm-i p(m-\)(m--\) —. fam- 1 pin*- - 2 m +1 . 



pero el primer término de esta potencia sería a m ~ x p m \ 

 que no existe en (/ r )'"; por lo cual, á lo menos, tendríamos 

 que suponer un coeficiente racional k para (I r ) m ~ l , á fin de 

 hallar el primer término dentro del esquema; pero, entonces, 

 el último término de k (Ir)" 1 ', seria: 



kh m ~~ ' n m ' J - 2m + 1 - fl m -ln"i ! -"i + l 



que no está comprendido en {1 r Y l , cuyo último término he- 



(*) Después indicaremos el número de términos que ha de tomar- 

 se en realidad. 



