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Cuando m es un número primo, y las potencias de y k se 

 hallan multiplicadas por potencias de raíces m* 8ima * de otras 

 letras, hasta un total de m — 1 series de raíces, siempre que 

 éstas guarden un cierto orden, puede efectuarse la operación 

 sin que el grado de la ecuación racional exceda del m éaimo . 

 Veamos cómo puede ocurrir esto. 



Tomando por base una de las raíces m ésimas de la unidad, 

 y elevándola á potencias sucesivas, se obtiene las demás, 

 según sabemos, en esta forma: 



(ri 3 ) = r 2 (/V) = r s (r 2 y = (r t ) 4 = U 



(r l ) m = (r,)-= =(r m _ 1 ) m = l. 



Teniendo en cuenta esta circunstancia, formaremos el si- 

 guiente cuadro, donde, debajo de los respectivos coeficien- 

 tes de la ecuación [1], figuran los diversos órdenes en que se 

 desarrollan las potencias de una cualquiera de las raíces: 



a b 

 r r' 2 

 r 2 r A 



r 



m—2 



h 



-/7Z — 1 



r 2(m-2) r 2(m-l) 



r m— 2 y-i(m—2) _ _ f{m— l) a f{m— 1) {m— 2)1 



rtn— 1 f-2(m— 1) __ fifn— 1) (m— 2) #-(m— í) a 



1 



1 



1 



1 



6 

 |/" 9 r. 



^m— l 'm—2 



u 



1 



m—2 ' m— i 



m— 4 'm-2 



r 9 



Si suponemos que hemos sacado fuera del radical la de- 

 terminación aritmética de las diversas potencias de k, ha- 

 bríamos dejado, bajo él, la unidad, cuyas raíces m ésimas , ele- 

 vadas á potencias sucesivas, seguirían los diferentes órde- 

 nes que aparecen en el cuadro anterior, siendo evidente que 

 la ecuación se hubiera hecho racional del mismo modo; aun- 



