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* AN 
oder Ta dx 2 
In 
3) Suche [dx cos x F (). 
F () = ＋ cos x, F., (X) = — sin x, F“ g 
= — cos x, I““ (&) A sin x, F“ (X) cos x, 
1 
Hier ſieht man ſogleich das Geſetz, nach welchem die 
Glieder zuruͤcklaufen, da cos x und sin x immer abwech— 
ſeln, und da nach zwey poſitiven immer zwey negative 
Werthe folgen. Alſo iſt 
F (X) =+ sin x, oder [dx cos x = sin x. 
4) Suche [dx sin x = F (N). 
Hier wird auf ähnliche Art operiert als sub 5. 
Es läßt ſich aber, nach der Methode der umge: 
kehrten Ableitung, nicht in allen Faͤllen das Integral 
ſo leicht und unmittelbar finden, wie in den eben ange— 
führten Beyſpielen. Oefters werden hiezu ſehr feine Kunſt— 
griffe des Calculs erfodert, und ſelbſt da vermag man oft 
nur auf Approximationen zu gelangen. Ein merkwuͤrdi⸗ 
ges Beyſpiel hievon iſt der folgende Abſchnitt. Mehrere 
wichtige Anwendungen dieſer Lehre auf aͤußerſt ſchwierige 
Fälle behalte ich mir noch für ſpaͤter zu erſcheinende Auf— 
fäße vor. Möge es mir gelingen, hiedurch der bisherigen 
Ungeſchwindigkeit und höchſt beſchränkten Anwend— 
barkeit der transcendenten und irrationalen Func⸗ 
tionen einigermaaßen abzuhelfen, und ſonach auf den Dank 
ee einen gegruͤndeten Anſpruch machen zu 
duͤr fen. 
Ehe ich jedoch zu dem folgenden Abſchnitte ſchreite, 
wo der Ausdruck fuͤr die trigonometriſchen Functionen 
geſucht wird, will ich hier, nur vorbereitungsweiſe, ganz 
kurz einen Gegenſtand beruͤhren, welchen ich mir in einer 
folgenden Schrift weitläuftiger zu entwickeln vorbehalte. Es 
ſoll nehmlich hier noch gezeigt werden, wie ſich der trans— 
cendente Ausdruck des natürlichen Logarithmus einer 
Zahl, nach meiner Integrationsmethode, auf eine neue 
Weiſe anſetzen ließe. 
Wir ſetzen 
1 1 
log nat. Xx = F (Y), ap Fa) = - — = 
III 
ın 
X 
= Ric. N! 1 
= [wenn m ſehr'groß angenommen wird! = a) 
ar 
x 
1 (m - i) 
: FW= „F = — N 
alſo ( ) mt 000 2 1 — 1 
m m 
X Mm. X 
m 
Die ruͤckſchreitende Derivatlon der Potenz von m im Nen— 
ner iſt ſo: 
2 ı 0 — 
„ ne n 8 
x fo: 
3 1 — 1 
ferner der Potenz von 
2mm — en 0. m — 1 
1 
m m 5 m m 
„ X „ X „ X 0 
=x ; alfo haben wir 
51» 
A 
lı,n.x=0+ -—— CTA. mx 
1 
m 
3 
Da I. n. 1 S o, alſo C Am S o, fo if 
C = — Am, folglich l. n. X Am ＋Am X = 
NV 
Von N zu beſtimmen, ſagen wir: 
x “ 
-: N d 
d(l.n.x)=N ER A " 
ın ım 1 
1— — 
m 
X 
N. * d | a 
a ER RR Re alfo 
mn x x 
N in 
— i, oder N 3 alſo: log. nat. x = 
I 
I 
m 
* 
m 
22 X — 1 
= m — 
1 
111 
X 
Dieſe Gleichung iſt um ſo wichtiger, je größer m 
