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für die bekannte Reihe = tang p — , tangı 4 
3/, tang 9° ic. daraus folget, daß ſie für jedes veraͤnder— 
Auch 
hatte ich ſchon im Septbr. 1823. dem Hn. Grafen Bu⸗ 
quoy muͤndlich geäußert, daß in den Schluͤſſen fuͤr die 
trigonometriſchen Functionen der vielfachen. Winkel und be: 
ren Potenzen, auch in franzoͤſiſchen Lehrbuͤchern, welche 
wir beyde ſehr hoch ſchaͤtzen, manches zu aͤndern ſey. 
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liche ꝙ N ungereimte Antworten geben muͤſſe. 
Alles, was mir Hr. Naumann dann genaueres dar⸗ 
Aber beyzubringen wußte, beſteht in folgender Mittheilung 
im Bulletin des sciences mathe mati ues ele. Nr. 7. 1824. 
Pag. 12. 
Mathematiques transcendantes. 
2ı. M. Poinsot a lu à l’Acad&mie des scien- 
ces, dans la séance du ig. Mai 1825, un memoire 
sur l’analyse des sections angulaires, et dans lequel 
il s’est proposé de généraliser et de rectiſier, en 
plusieurs points importans, les formules qui se rap- 
portent à cette analyse. Larticle suivant, extrait 
du memoire, contient le resum& de son travail. 
„On y fait d’abord remarquer, dans les series 
connues, une imperfection analytique qui avait 
echappee jusqu'ici aux géométres, et qui consiste en 
ce que la serie ne présente actuellement qu'une sen- 
le valeur, tandis que la fonction developpee en a 
plusieurs, toutes difförentes a raison de différens arcs 
qui ont un mème sinus ou cosinus donné. L'objet 
principal du mémoire est de faire disparaitre ces im- 
perfections, et de rétablir dans les nouvelles formu— 
les cette généralité absolue, qui doit dire le caracté- 
re propre des expressions de analyse. 
„Mais, en se bornant mèeme à l’unique valeur 
de la fonction qui est relative a l’arc simple que 
Jon considère, et non pas à cet arc augmente d’u- 
ne ou de plusieurs circonférences, on a prouvé, dans 
ce mémoire, que les series connues ne sont appli- 
cables que lorsque la variable est comprise entre de 
certaines limites que le calcul determine. Ainsi la 
‚formule d’Euler, qui développe la puissance du co- 
sinus par les cosinus d'arcs multiples, n'est généra— 
Nernent vraie que pour un are qui ne surpasse pas 
le premier quart de la circonference pris en plus 
ou en moins. Au delä le cosinus est negatif, et la 
formule cesse d’etre exacte pour Parc dont il s’a- 
git. La me&me analyse fait connaitre le defaut pre- 
cis de celle dont on avait déduit la série, et donne 
la solution de toutes les diflicultes qu'on avait ren- 
contrées sur ce point de doctrine. Il suit encore 
de cet examen que la double serie donn&e par Euler, 
et confirmee par Vanalyse de Lagrange pour l'ex- 
pression complete du cosinus d'un are multiple dé- 
veloppée par les puissances descendantes de l’arc 
simple, n'est vraie que dans le cas de l’exposant en- 
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tier; que, si l'exposant est fractionnaire, la serie est 
divergente et ne peut étre appliquée. Le défaut de 
Panälyse, dont on a deduit cette série, provient de 
ce que l'on y suppose tacitement le cosinus plus 
grand que le rayon; d’ou il resulte que la formule 
generale à laquelle on est ainsi parvenu ne convient 
plus a la division des angles, mais à celle des sec- 
tenrs considérés dans l’hyperbole &quilatere,“ 
Les scometres liront avec le plus grand inté- 
ret cette discussion dans Pouvrage de NI. Poinsot, 
qui fait partie de la collection des mémoires de 
Académie, et ne tardera point à étre imprime, 
Mit dieſer Anzeige die Bemerkung verbunden, daß 
die bekannte Formel: ' 
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von den franzöfifhen Mathematikern aus Sinus- und Co⸗ 
finus: Diffsrentialen abgeleitet wird, iſt es wohl zu vers 
muthen, daß Herr Poinſot auf die ebenfalls noͤthige Ein— 
ſchraͤnkung des logarithmiſierten Tangentendifferentials noch 
nicht gekommen iſt; und ſo wird es dieſem beruͤhmten 
Matheqatiker lied ſeyn, auch von dieſer Seite her feine 
Behauptung beſtaͤtigt zu ſehen, daß man dieſen Formeln 
nicht ſo unbedingt, als es bisher geſchehen iſt, ſich uͤber— 
laſſen muͤſſe. Hierin ſind wir alſo beyde vollkommen einig. 
In folgenden Puncten duͤrften wir bis jetzt noch verſchiede— 
ner Meynung ſeyn. 
cos nꝙ = 
1. Hr. Poinſot erwaͤhnt, daß die von ihm nur ein⸗ 
geſchraͤnkt richtig befundene Formel auch durch des Herrn 
Lagrange Functionencalcul als allgemein richtig beſtaͤtigt 
ſey! Ich habe auf dieſe Beſtaͤtigungen niemals den ges 
ringſten Werth gelegt, und mich immer gewundert, daß die 
ſonſt fo ſcharfſichtigen franzoͤſiſchen Mathematiker der Täuz - 
ſchung jener neuen Methode nicht eher inne geworden ſind. 
Der Erfinder ſelbſt hat ja durch ſeine Functionenentwicke— 
lung alles beſtaͤtigt gefunden, was er von andern Mathe— 
matikern vor ihm durch den Infiniteſimalcalcul erobert vor— 
fand, das Falſche eben fo gut, wie das Wahre! 
Die weſentlichſte und merkwuͤrdigſte Unrichtigkeit in 
den bisherigen Syſtemen des Infiniteſimalcalculs iſt die 
Behauptung, daß die allgemein erwieſenen Lehren zur 
Auffindung der Differentialquotienten für einige einzel 
Werthe der Variabeln einen unrichtigen Quotienten gebe, 
und daher fuͤt dieſe Faͤlle eine Specialinquijition angeſtellt 
werden müffe! Lagrange, der dieſe Behauptung der Infi⸗ 
niteſimaliſten fuͤr richtig anerkannte, hat ſie nicht nur 
durch feinen Functionencalcul auf das voͤlligſte beſtaͤtigt ges 
funden, ſondern auch vermittelft deſſelben durch eigenthuͤm— 
liche Gruͤnde dieſe merkwuͤrdige Lehre aufs neue motiviert! 
In meinem ſchon erwaͤhnten Lehrbuche der Differen— 
tialrechnung denke ich allerdings durch neue, mir eigens 
thuͤmliche Gruͤnde des Infiniteſimalcalculs ganz allgemein 
und deutlich es erwieſen zu haben, daß die gewoͤhnlichen 
Differenzierungsregeln (folglich auch des Pn. Lagrange Des 
rivationsregeln) für alle Werthe der Variabeln richtig find, 
