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von y (nehmlich Y. V J y, ytöy#öytsöy..:..) 
und die zugleich ſtatt findenden Ausdrücke für F (X, dx, 
dy) nehmlich F (x, y. dx, dy), F (X y, dx, dy) 
F (x, y. dx, dy), F (x, Y, dx, dy) T dF yd x, 
dy) T dF (X, y, dx, dy) + 88F ( y. dx, dy) : 
an den Enden jener unendlich kleinen Zeiten beſtehen, wo 
der bewegte Punct die unendlich kleinen Räume z, 2 ö y. 
30 y. . . . .. beſchrieben hat, fo haben y und F (K, y. 
dx dy) in jenen Augenblicken, wo erwähnter Punct den 
Raum ny beſchrieben hat, folgende Werthe: 
22 n (n n . 
Iny * e eee ber 
n(n—ı) —— 84% C. el. ib 
E 
F (x, * 1 dy) + nöF (x, vy dx; en 5 DN 
e ef (, v. d, a5) 4 
DL (*, yl dn, y) . fete e f 
2. 3 * 5 5 arte‘ 
Subſtituieren wir daher ſtatt m die unendlich große 
Sahl J fo erhalten wir jene Werthe von y und von 
F (x, y, dx, dy), welche dem vom Puncte durchlaufenen 
endlichen Raume o entſprechen, nehmlich 50 
a e e l eee 
vr. 0 
he öy vie ENTE 
J 
* 
F (x, xidx, dy) 
ei oe Lv ener nen 2 ay 
RT 
7717 tat 2 5 nr Ri z 
0 * 5 F („, d dv 
es a 
— — und F 1 85 75 dx, dy) 15 
m? 32 F (X, v. dx, d y) 
IE. 
2238284 0 
g 5 10 8.183 
woraus man die Werthe von 1 und F (x, y, dx) ern 
hält, welche einen endlichen negativen (vom Puncte) durch 
laufenen Raume entſprechen, wenn man — @ ſtatt o fußs 
ſtituiert, wodurch nur jene Glieder negatid werden, 
worin o zu einer ungeraden Potenz erhoben iſt. 
Ee gibt allemal einen endlichen Werth, der klein ge⸗ 
nug iſt, daß er, oder jeder kleinere, in obiger Reihe ſtatt 
o ſubſtituiert, das Glied, worin % vorkoͤmmt, großer als 
die Summe aller folgenden Glieder macht; eben ſo gibt es 
einen endlichen Werth, der klein genug iſt, daß er, oder 
jeder kleinere, in obiger Reihe ſtatt o ſubſtituiert, das 
Glied, worin ? vorkoͤmmt, groͤßer als die Summe aller 
folgenden macht, eben fo u. ſ. w. Es iſt alſo F (, y. 
dx, dy) ſe beſchaffen, daß durch das Bewegen des Pun⸗ 
etes um den ſehr kleinen Raum + % ſowohl, als um jer 
nen — o, der Differentialausdruck F (Xx, y, dx, dy) 
Fi: 
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alſo auch die Summe aller, der Abſelſſe * entſprechenden, 
F (x, y, dx, dy), d. h. F (, y, dx, dy) abnimmt, 
oder aber zunimmt, wenn die angenommene Grundglei⸗ 
chung zwiſchen x und y von der Art iſt, daß Burn 
3E G. v Adx, dN 2 P (x, vi dx, dy) 
ey = 0, und 575 
= , u. ſ. w., oder aber, daß — — 
— T 15 JE K v A, d J ung 70 
= o und ee =I u. ſ. w., in wel 
i 1 i l 1 7 
chen Fallen aber der Ausdruck TF (x, y, dx, dy) ein 
maximum oder minimum iſtl, nach folgendem einleuch⸗ 
tenden Grundſatze: Wenn zwiſchen x und „ eine ſolche 
Gleichung beſteht, daß die von dieſen zwey Argumenten 
abhaͤngige Function JF (X, y, dx, dy) abnimmt, man 
mag dieſe Gleichung nach welch immer einem ſteten Geſetze 
auf entgegengeſetzte Art fehr wenig ändern, ſo iſt, der 
Ausdruck /F (x, y, dx, dy) bey dieſer Gleichung ein 
max., und umgekehrt. 3 
Don 2) 1 
Ka Hieraus folgt der wichtige Lehrſat der Variationsrech⸗ 
nung. Der Ausdruck SF (x, y, dx, dy) iſt ein max. 
bey jener Gleichung zwiſchen X und. /, wabey man erhält 
dF ( y. dx, dy) Fr „ & F (T, yydx, d 
r 9 Te = 
8 A munen zd sg 11 ss chin 
1 = 2 anf 5 er er 84 10 4 EG 
F 
SF. sFr.) ge 
„ r de 07 
= V smedon 
55 * ſ. w. e 5 
391 Smut vb. dun 7 d idee dd 
Hingegen ‚it der Ausdtuck / E (x, vad x, dy) ein 
min, bey einer Gleichung zwiſchen c und yo, wobey man 
erhaͤlt un ſ. w. Um nun zur Beſtimmung ſolcher maxi- 
ma und minima von den angeführten Lehrſaͤtzen eine Ans 
wendung machen zu koͤnnen, koͤmmt es vorzüglich darauf 
an, die Ableitungsart allgemein zu beſtimmen, wornach 
d F (x, y. dx; dy)ı aus F (x, Y» dx, dy) } erhalten 
wirds „si, iur * 0 22) Jene en la e le 
r bi-r-V un Bis ana 
Da Elxsyadx,.dy) durch die Verwandlung von 
y in y T dy verwandelt wurde in F (x, Y. dx, dy) 
+6F(x, y, dx, dy), fo iſt eigentlich E (X, y dx, 
dy) ＋ OF (x, y, dx, dy) der betrachtete Differential 
Ausdruck für einerley x und dx, aber fuͤr y + y und 
d (yr 85). Es iſt alſo F (x, „„ dx, dy) + & F (x, 
y‚dx,dy) F G, y, +öy,dx,d(y+8y)), wor: 
15 e NE Yon dy) = F (x, y. dy, dx, d 
y : 
+ 
+ 3y)) F, y., dx, dy). d. h. es wird ÖF (x, 
Y, dx, dy) aus F (X, y, dx, dy) erhalten, wenn man 
F (x, y- dx, dy) in Beziehung auf y und dy durch das 
Zeichen 8 (ſtatt durch das Zeichen d) differenziert, und ody 
und day als gleichbedeutend betrachtet. 7 
Ware z. B. F (X, y, dx, dy) = xdy T ydx, 
fo wire o F (x, y, dx, dy) oder d(xdy T yd) = 
