Beyſpiel 4. Bey welcher Gleichung zwiſchen der 
- got 
Differentialausdrucks iſt gleich dem Integrale der Variation 
dieſes Differentialausdrucks; jedoch mit der Bemerkung, daß Abſeiſſe x und der zugehörigen ſenkrechten Ordinate y, iſt 
die von dem Puncte a nach jenem b (Fig, III.) gezogene 
Curve die kuͤrzeſte? f 
das Zeichen o auf beyden Seiten der Gleichung einerley 
Variationsmethode andeuten muß. 
Die Lage der Punete a, b, iſt dadurch beſtimmt, 
daß (bey der angenommenen Abſciſſenaxe cd, worauf die 
Abſeiſſen von c aus nach cd poſitiv gemeſſen werden) für 
* A das fuͤr x Y BB das y = 8 ausfällt, 
Die Frage heißt alſo hier fo viel, als: bey welcher Glei— 
chung zwiſchen x und y unter den beſagten Bedingniſſen 
2 
iſt der irgend einem x entſprechende Ausdruck F(dx?+-dy?) 
ein minimum? 
Auflöfung der Aufgabe nach erſter Methode. 
»Wir ſetzen, es finde dieſes Statt bey jener Gleichung zwi— 
ſchen x und y, welcher die Curve ahh entſpricht, fo folgt 
aus Obigem: 
i 5 2 
d- A A )_ 
— c, 
öy N 
: ½— 
1 2 2 dx2 dv? 
gabe LEA an ae ram, 
öy 
— 2 
dx? dy⸗ dy dd 
der 1 7 — So, oder 
dy do y 
ER dy 
5 0» Ober a ya IT 
* 
dy 
255 F dy 
ö faͤyd \(dy? + dy2)%) o, oder a 
öy 2 aer 
ATS =o Hier iſt Is eine 
gay 
Function von x = f (x), und föyd (a: BI 
\(dx? + dy2)%) 
8 dy 
eine Function von K und ay = F (x, d y). 
Soll nun aus f () ＋ F (x, ö y) o das Incre⸗ 
mentum oy nicht eine Beſtimmung erhalten, fo muß ſo⸗ 
wohl f () = o als F (X, d y) = o ſeyn. Daß aber 
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für oͤy keine Beſtimmung folgen darf, ergibt ſich daraus, daß 
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öf(Ax® + dy- 
2 5 0 bleiben muß, bey jeder denkbaren 
Veraͤnderlichkeit der Grundgleichung. Wir haben alſo 
Pr er N 3 
r woraus T Fer Da 
D* 
— D, alſo y S mr 0, worin D und C 
aus der gegebenen Lage der Puncte à und b leicht zu be⸗ 
ſtimmen iſt. Die Curve iſt des erſten Grades, d. h. eine 
2 
gerade Linie, bey welcher der Ausdruck (dx? + dy?) 
ein max. oder min. iſt. Bey weiterer Unterſuchung zeigt 
ſich, daß ſie einem minimo entſpreche; denn man erhaͤlt, 
wenn man y = hx + k, daher f 
7 
dy ee 
dx = i ſetzt, fuͤr e = 
1 1 
= (25 4 ) a% dedy T E dy. (dy)! 
oͤy ? 
einen poſitiven Werth; denn es kann, da Varleren bloß ein 
Differenzieren durch das Zeichen oͤ iſt, dy . ödy nicht ne⸗ 
gativ ſeyn, fo wenig als 2d z; es iſt nehmlich dz = 
d (T z) oder d (— 2), je nachdem 2 = + oder 
— if, alſo 2 dz z. d (2) = z dz, oder >= 
— z d (- )=— 2 1 dz 2 2zdz. 
nal 
Beyſpiel B. Bey welcher Gleichung zwiſchen der 
Abſeiſſe x und der zugehörigen ſenkrechten Ordinate y iſt 
der irgend einem Werthe von x entſprechende Flaͤcheninhalt 
(welcher durch die Abſciſſe von der Länge x, durch die im 
Anfangs- und Endpuncte von x gezogene ſenkrechte Ordina⸗ 
te, und durch das zwiſchen dieſen zwey Ordinaten befindlis 
che Curvenſtuͤck begrenzt iſt) ein max., wenn nebftbey bes 
fagtes Curvenſtuͤck für einerley x eines beſtaͤndigen Werth 
haben ſoll? 
Die zwiſchen den Coordinaten x und beſtehende 
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