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Gleichung bey jenen Curven, welche den Bedingniſſen unſe⸗ 
rer Aufgabe entſpricht, iſt von der Art, daß der (der Abe 
ſciſſe x entſprechende) Ausdruck y dx abnimmt, wenn die 
Gleichung zwiſchen x und y (nach der erſten oder zweyten 
Methode) nach einem, übrigens willkürlichen, jedoch ſolchen 
Geſetze, um ſehr wenig auf entgegengeſetzte Art geaͤndert 
wird, daß durch dieſe entgegengeſetzte Aenderung das Cur⸗ 
venſtuͤck, welches der Abſeiſſe x entſpricht, ſich nicht aͤndert. 
Man mag alſo alles auf die erſte oder auf die zweyte Me⸗ 
thode beziehen, ſo laͤßt ſich die eine Eigenſchaft unſerer Cur⸗ 
rd 2 
ven durch nn Do ausdrücken. Beziehen wir alles 
auf die erſte Methode, fo bleibt das der Abſeiſſe x entſpre⸗ 
chende Curvenſtuͤck unverändert wegen der feſtgeſetzten Va⸗ 
riationsmethode, alſo it o (d x2 ＋ dy?) = o, wird al 
fo alles bloß in Bezug auf y und d variert, ſo haben 
Y 
wir die zwey Gleichungen öf(dx? + dy) 7 0, und 
öfydx 
55 = o, u. ſ. w. 
Beziehen wir alles auf die zweyte Methode, ſo laͤßt 
ſich eine ſolche Variationsmethodefſ denken, wodurch das 
. w òoͤ e 2 d xX 0 odoͤs x 
der Abſeiſſe x Ey ara en ash 
und den vom Puncte durchlaufenen Naͤumen Te und — » 
entſprechende Curvenſtuͤck unverändert bleibt, wodurch aljo 
Ya 
öf(dx?+dy?) So if, welche öfldx?+dy) = 
o aber, wegen der Allgemeinheit der hier feſtgeſetzten 
Variationsmethode auch jene Varigtionsmethode mit in ſich 
begreift, wodurch das der Abſeiſſe x entſprechende Curven⸗ 
ſtuͤck unverändert. bleibt, indem erwähnte allgemeine Varia⸗ 
tionsmethode auch jene mit einſchließt, wornach x ſich nicht 
60 d ⁊ xX 
+ . * 2 „4 „ 
2 dy? 
entſprechende unveraͤnderliche Curvenſtuͤck jenes iſt, das dem 
Werthe x entſpricht. Wird alfo alles in Bezug auf y, 
dy, x, dx variert, ſo haben wir die zwey Gleichungen 
y da 
sjlax Hay) o, und I 
Öx 
ändert, alfo das dem x + 475 
Do, u. ſ. w. 
Auflöfung der Aufgabe nach der zweyten Me⸗ 
Y. 
thode. Es ergibt ſich ausöfldx?+dy?) Do folgendes: 
dxdöx + dvdöy a 
(dx? + dy?)% = 0, oder 
dxdöx + dyd dy — Adv. dd 
CN U alſo dax — . 
8 7 
ferner folgt aus — dr = 
o folgendes: 
804 
S(ydöx + dxöy) 
57 o; wird hierin à * = — 2 
dv. dd 
— — 7, fußflitwiert, fo erhält man 
ydyddy 
“ dx + dxöy 
9 = 0; hieraus 
. (say\ xudy 
S ELTA e: Bar 
vdy vd 
f(dxöy + öyd 5) — 52 = o, woraus 
0 
folgt yay = o und 
A dx 
ycAxdy + öya (A0) 
ee für Sy keine Beftims 
mung folgen darf, welche letztere Gleichung gibt dxdy + 
1 . d 
+ öyd (Ai) S o, a aug dx d Ge 
\dy 
ER 
= o, woraus folgt dx = d (. alſo x = 
1 
= . , und hieraus: y TX G. Xx ＋ 
dx 
+ H. Alſo iſt die geſuchte Curve ein Kreis. 
Die Aufloͤſungsmethode dieſer Aufgabe bietet uns die 
Gelegenheit dar, folgende intereſſante Bemerkung zu mas 
chen: wenn die Gleichung zwiſchen x und y gegeben iſt, 
alſo TF (X, 1 dx, dy) durch f (Y) ausgedruckt werden 
Af (Y 
dy 
dq F (x, y, dx, dy) 
dy 
jener Werthe von y, wodurch diefer Gleichung Genuͤge ges 
df(y) 
dy 
= o. Iſt hingegen die Gleichung zwiſchen x und y noch 
Fx, x, dx, dy) 
9 * 
= auf zweyerley Art Genuͤge geleiſtet werden, u . z .: 
iſtens dadurch, daß man „ durch x dergeſtalt ausdrückt, 
d. h. daß man zwiſchen x und y eine ſolche Gleichung ans 
nimmt, daß man hierdurch (werde die Gleichung zwiſchen 
x und 5, daher auch der Ausdruck / F (x, y, dx, dy 
kann, ſo folgt aus = 0, oder aus 
So, allemal nur die Beſtimmung 
a rn 
llemal als 
iſt allemal ſo viel a d 
leiſtet wird, denn 
unbeſtimmt, ſo kann der Gleichung 
