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und daher nach Lehrſatz . F(x) = A, conftant, 
folglich iſt k () = A.ꝙ R). a 
Aufgabe x. Es fol das Differentials der Function 
a angegeben werden. 
Auflöſung. Es ſey da = f (X) . dx 
fo iſt auch wenn man nx ſtatt x ſetzt 
3 f (nx). d (nx) S nf (nx). dx 
und weil di — (ar) in a). dax 
ſo iſt n (ar RE 8 = unf (nx). dx 
nx 
a 
a 
folglich auch, weil (a)“ = 
nx 
a 
2 dat f (nx). dx 
* 
Es iſt alſo wenn man für da den obigen Werth ſebzt, 
. (dx a f (mx) dx 
nx * 
nehmlich a F ka 
daher findet die Proportion ſtatt 
y x nx 
f (: f (nx) S a: a 
und hieraus folgt nach dem Lehrſatze Nr. 2 
E 
x * 
Es iſt alſo da =Aa dx 
wo nun die Abhängigkeit des conſtanten Factors von der 
Grundzahl a ſich leicht beſtimmen laßt. 
Juſatz. Aus dem gefundenen Differentiale der Ex— 
x 
ponentialgröͤße a laͤßt ſich das der Logarithmen, wie bekannt, 
leicht ableiten. Es laͤßt ſich aber auch das Differentiale der 
Logarithmen nach der hier angewendeten Methode unmittel⸗ 
bar leicht beſtimmen, wie in der folgenden Aufgabe gezeigt 
wird. 
Aufgabe 2. Es ſol das Differentiale von Lg. x ans 
gegeben werden. 
Auflöſung. Setzt man d Lg * = f(x). dx 
fo ift auch d Lg. nX = f (nN). d (nx) nf (nx). dx 
oder d (Lgin 1 Lg. X) = nf (nN). dx 
alſo, weil d Lg. n S o; d Lg.x nf (nx), dx 
folglich erhält man die Gleichung 
deen 
— 
und daher auch A f = —tf (nx). 
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Es findet alſo die Proportion ſtatt f 
1 
— 
P en 2 15 
folglich iſt nach Lehrſatz Nr. 2 
00 S A. 
und daher d Lg. Xx = A. = 
und es laͤßt ſich leicht nachweiſen, daß A der Modul des 
logarithmiſchen Syſtems ſeyn muß. 
Aufgabe 3. Man ſoll das Differentiale von sin x 
beſtimmen. 
Auflöſung. Man ſetze dsinx=f(x). dx 
ſo iſt d sin ð* S 2 sin Xx d sin x S 2 sin x f(x) dx 
da nun cos x 1 — sin 2K 
fo iſt auch d cos * = d sin X 
nehmlich es it 2 cos x. d cos x = 2 sin x f(x) dx 
Sin X 
alſo d cos x — —— f(x). dx. 
cos X 
Nun iſt sin ax = 2 sin x cos x 
alſo auch d sin 2*x = 2 (cos x. d sin & + sin x. 
d cos x) nehmlich es iſt b . 
sin x 
a * 
f (2x) d (2x) S 2 (cos x. f(x) — sin x. N 
£(x)) dx 
und cos x f (2x) = (cos ?x — sin X) f (x) 
folglich cos x f (2x) = cos 2x f (x) 
und hieraus entſteht die Proportion 
f (0 F (2K) cos. & c 2x 
Es iſt alſo f(x) =A cos x 
und daher du sin x = A cos x dx. 
Und bey fortgeſetzter Unterfuhung wird der Werth von 
A = sin tot. gefunden. 
Anmerkung. 
Die weitere Ausfuͤhrung dieſer Theorie findet man 
in dem Lehrbegriff der Differentialrechnung von Dr. E. S 
Unger, Gotha in der Henningsſchen Buchhandlung 1826. 
Dieſes Werk bildet den zten Theil der mathematifchen 
Analyſis von Dr. E. S. Unger. 
