.53 



per 1 uncta G\", G'/" et(G."/'0 transeant, Nam lionim 

 vertices J' et U', in quihus latera per piincta G'," 

 et G'/" transeuntia se intersecant, pertinent etiam 

 ad triangiilos J' J" J'" et U' U" U"', fiiiorum reli- 

 qui vertices J", J'", U", U'" sunt ea piincta, in qni- 

 bus circuli C" et C'" a lineis J' (J"), J' (J'") et U' 

 (U"), U' (U'") intersecantiir, et qiiae ratione punc- 

 tonim J' et U' ex oppositis lateribus centrorum C, 

 C" et C', C" sila sunt. Puncta autem G'," et G','" 

 ex definitione in § 2. laudata definiuntur , punctum 

 rero (G"/") est intersectio lineae G'," G'/" et ree- 

 tae, quae per centrum C' parallela rectae C" C'" 

 ducta est. — 



Uberius vero docenda via qua eadem ratione 

 trianouli J, J„ J,„ et U, U„ U,„ secundum Pappi 

 lemma describendi sint me abstineo. 



S E c T / o I. 



De inveniendls et circulis in piano descriplis, iis qui 

 dolos tres circulos, et sphaeris iis quae ilalas qua- 

 tuor sphaeras aut tangant aut sub ansulis datis in- 

 terseccnt. 



Fig. 1. I. Duo circuli sese tangentes aut Hs- 

 dem aut opposilis laleribus sese tangunt , si aut in eo- 

 dem latere aut in utroque illius lineae siti sunt, quae 

 utrumque circulum tangit. Et spliaerae duae sese 

 tangentes aut iisdcm aut opposilis laleribus sese lan- 

 guni, si aut in eodem latere aut in utroque illius 

 plani sitae sunt, quod utrainque sphaerum tangit. 



Fig. 2. Circuli duo aut sphaerae duae se se- 

 cantes aut eadem aut opposita latera »ibi obvertant, 

 prout in eo triangulo, cujus tres apices in utroque 

 centro et uno intersectionis puncto sunt, radii cir- 

 culorurn aut sphaerarum sive acutum sive obtusuni 

 angulum comprehendimt. Nominantur autem et 

 circuli et sphaerae altera ratione iisdein laleribus, al- 

 tera vero opposilis laleribus sese intersecanles. 



Circulus, qui quotlibet circulos aut omnes üs- 

 dem aut omnes oppositis lateribus tangit seu secat, 

 eadem ralione eos sive tangit sive serat ; qui autem 

 alios iisdem alios opposilis lateribus tangit seu secat, 

 divevsa ratione eos sive tangit sive secat. Similiter 

 spliaera aut eadem aut diversa ralione quotlibet sphae- 

 ras tangit sive secat. 



Fig. 3- 2. Quotlibet lineis rectis ductis per bi- 

 na puncta in quibus bini circuli a quolibet alio cir; 

 culo tangantur eadem ratione idem intersectionis 

 punctum est. Quod est idem punctum in quo bi- 

 nae lineae, utrumque circulum datum ita tangentes, 

 ( si nempc alter circulus intra alterum non est Si- 

 tus), ut ulerque in eodem utriusque lineae latere Si- 

 tus Sit, se intersecant. Nominatur autem hocce 

 punctum: analogicum utrique circulo commune in eo- 

 dem utriusque circuli latere silum, Fig. 4. Et quot- 

 3|iä 1336. «eft lY. 



=== 354 



libct lineis reclis dtictis per bina pnnifa , in quihus 

 bini circuli a <{iiolibet alio circulo tangantur d'vcrsa 

 ralione idem intersectionis punctum est. Quod est 

 idem punctum in quo binae lineae utrumque circu- 

 lum ita tangentes, (si alter circulus extra alterum 

 est, neque ab eo secatur,) ut uterque in opposilo 

 utriusque lineae latere situs sit , se intersecant. No- 

 minatur autem hocce punctum: analogicum utrique 

 circulo commune, in opposilo utriusque circuli 

 latere silum. 



Sphaeris autem duabus circulorum loco datis, 

 similiter punctum analogicum ulriqut sphaerae commu- 

 ne, in eodem utriusque sphaerae latere silnin, id appel- 

 latur, in quo quotlibet lineae rectae, ductae per bi- 

 na puncta, in quibus blnae sphaerae a qualibet alia 

 sphaera tangantur eadem ralione, se intersecant. 

 Punctum vero analogicum utrique sphaerae commune, 

 in opposilo uiriasque sphaerae latere silum, id appella- 

 tur in quo quotlibet lineae rectae ductae per bina 

 puncta, in quibus binae sphaerae a qualibet alia 

 sphaera tangantur diversa ratione, se intersecant. 



Circulis a«it sphaeris binis datis litteris aut C, 

 C" aut K.', K" signatis punctum analogicum com- 

 mune in eodem latere situm signetur littera G',", 

 punctum autem analogicum comrnune in opposito 

 latere situm littera E'/'. 



Fig. 5. Pimcta analogica circulis C, C" com- 

 munia et illud in eodem utriusque circuli latere et 

 illud in opposito situm sequerli constructione facile 

 inveniuntur. Ductis enim in utroque circulo C, C", 

 radiis C D' et C" D" sibi parallelis ex eadem parte 

 rectae C C" per centra C, C", ductae positis, inter- 

 sectio rectae D', D" cum recta C, C est punctum 

 analogicum circulis C, C" commune ex eodem utri- 

 us'fue latere situm. Ductis autem radiis C D' et 

 C D,, sibi parallelis ex opposita parte rectae C C" 

 sitis, recta D' D„ rectam C' C" in puncto analogico 

 circulis C G" communi, ex opposito utriusque late- 

 re sito secat. 



Prout circuli duo se iisdem' aut oppositis late- 

 ribus tangimt, punctum analogicum iis commune 

 ex eodem utriusque latere aut ex opposito situm in 

 punctum contactus incidit. 



Infer plures proprietates' perpulcras, quibus 

 puncta analogica guadent, hoc eleg.intissimum theo- 

 rema indicamus. Datis tribus circulis (]', C", C" 

 puncta analogica binis iis communia ex iisdem eo- 

 rum lateribus sita signentur litte.-is G',", Q','", G" ,'" 

 eodemque modo litteris E',", E','", E",'" puncta ana- 

 logica binis datis circulis commiun'a i": oppositis 

 eorum l.iteribus sita. In linea recta sunt sita et 

 puncta G',", G','", G"/" et G'/'i E'/". E"/" et G'/'i E'/'. 

 E";" et G","', E',", E',"'. Ex quo facile deduci potest 

 hoc non minus clegans de sphaeris theorema. Da- 

 tis enim quatuor sphaeris li', K", K'", W" si punc- 

 ta analogica binis iis commimia, et ex iisdem eoriim 

 lateribus et ex oppositis sita eodem modo ae antca 



