363 •'==^ 



vel Juae intra conum illum cluas datas ita tanoen- 

 tem ut dixi jacent ex earum situ utrum intra an 

 ultra sphaeras ab illo cono tactas positae sint con- 

 cludendum est. 



11^*. Sphaerae inveninntur quae K', K", K'" ea- 

 dem et K"^ diversa ralione tangant. 



o. Trajectoria plana spTiaerarura, quae binas 

 datas sphaeras tangunt in puncto D intersectionis 

 communis sibi occurrunt. 



ß. Constituantur plana trajectoriis planis P'/' 

 T'," R'," ¥'/" TV" R'/". ?",'" T'V" R"/" analogica 

 in binie sphaerarum K', K", K'" eadem ratione tactis 

 et plana trajectoriis planis P'/^K T'-^K RMr, P",ir T"-^'' 

 ■R-.iV, ?"',!»' I'ii.iv R/'MK analogica in sphaeris K"' 

 atque singula sphaerarum K', K", K'" divena ratio- 

 ne tactis, quorum duodecim planorum anajogicorum 

 terna ad eandem sphaeram pcrtinent, eeque in punc- 

 tis d', d", d'", air intersecant. 



y. Age a puncto D ad puncta d', d", d"', d»»' 

 rectas Dd', Dd", Dd'", Dd^f' quarum singula ei sin- 

 guiae sphaerae ad quam punctum d junctum cum 

 puncto D pertinet duobus in piinctis occurrit: J', U', 

 3", U", J'", U'", Ity, IJiy. Litteris E',", E',"'. E'-^^', 

 E",'", E''-'^, £'"''*' puncta analogica binis sphaeris 

 datis communia ex oppositis earum lateribus sita 

 signata sunt, quemadmodura litteris G',", G'/", G'-'*^ 

 G'V", G"-^y, G'"'«*' puncta analogica, binis sphaeris 

 datis communis, ex iisdem earum lateribus sita jam 

 antea designabantnr. Puncta J', J", J'", ¥r et punc- 

 ta U', U", U'", i:^'' ea proprietate gaudent, ut vec- 

 tices tetraedrorum irregularium sint, quorum mar- 

 gines prolongati, si opus fuerit, per puncta G',", G",'", 

 G','", E'.^n E'MV, E"MV transeant. Quibus tetrae- 

 dris sphaerae y et y' circurascriptae sphaeras R', R", 

 K'" eadem ratione, sphaeram R'V diversa tangunt. 

 Centra igitur harum sphaerarum y et y', si litterae 

 C', C", C'", C^V centris sphaerarum datarum simt 

 signis, sunt intersectiones tum rectarum G'J', C"|J", 

 C" J'", G'V Jiv tum rectarum C U', G" U", G'" U'" 



Sphaerarum datarum nisi tres aut duae aut 

 «na intra reliquas neque una aut duae intra conum 

 duas ita tangentem ut ejus vertex ex oppositis 

 utriusque eorum lateribus situs sit, jacent, altera 

 sphaerarum y et y" sphaeras R', R", R"' iisdem la- 

 teribus atque oppositis sphaeram R'^^ altera vero 

 oppositis lateribus sphaeras Fi', R", R'" atque iisdem 

 sphaeram R'^ tingit. Quod inter sphaeras y et y' 

 discriiiien evanuit, si aut tres aut duae aut una 

 sphaerarum datarum intra reliquas aut earum seu 

 ima feu duae intra conum illum duas datas sphae- 

 ras ita ut dixi tangentem, jacent. 



HI*. Sphaerae i'nveniantur, quae cum K' el K" 

 um K'" et A'Y eadem ratione tangant, ita vero Ut 



= .164 



cum K' M K'" tutn-K" et X'v lum R' elK'" tapi K' 

 et K'" diversa ratione tangantur^ ' ii.ii k ' 



a. Trajectoria plana sph.ierarum, quae nin'as 

 datas sphaeras tangunt se intersecant in puncto D. 



ß. Constituantur plana trajectoriis planis P','' 

 T'," U'," et P"'.iv' X"'.«v R"MV analogica, in sphae- 

 ris cum R' et R" tum R'" et R'^ e.idem ratione 

 tactis et plana trajectoriis planis P','" T','" II','", P",'" 

 T",'" R"/", P''»v T'.iT RMV, P",«v T"-iv R",iv analo- 

 gica, diversa ratione tactis in sphaeris cum R' etR'" 

 tum R' et R'V tum R" et R'" tum R" et R»^^. 

 Quorum analogicorum planorum terna ad eandem 

 sphaeram pertinent sibique in punctis d', d'*^ d'", d'^ 

 occurrunt. - '« >«•, '.. ..^ 



y. Age a puncto D ad puncta d', d", d'", d'*' 

 rectas Dd', Dd'', Dd'", Dd'\ quarum singula eam 

 singulam sphaeram, ad quam punctum d junctum 

 cum puncto D pertinet duobus in punctis interse- 

 cat: J', U', J", U", J'", U'", J'T U«''. Per puncta G',", 

 G"',iv, E','" EMV E",'", E-'-iv margines et tetraedri 

 irregul.iris J' J" J'" JIV et tetraedri irregularis U' U" 

 U'" U''^ transeunt. Sph.ier.ie y et y' bis tetraedris 

 circumscriptae cum sphaer.is R' et R" tum R'" et 

 Riv eadem ratione tangunt, dum sphaeras cum R' 

 et R'" tum R' et R»v tum R" et R'" tum R" et 

 Riv diversa ratione tangunt. Quanun sphaerarum 

 centra igitur, ea quae supra dixiinus inluens, facile 

 invenies. 



Sphaerarum datarum nisi aut tres aut duae 

 aut una intra reliquas jacent altera sphaerarum yet 

 y' sphaeras R' et R" iisdem lateribus et oppositis 

 sphaeres R'" et R'^ tangit , altera vero sphaeras R' 

 et R" oppositis et sphaeras R'" et R'^ iisdem late- 

 ribus ; quae inter sphaeras y et y' differentia non 

 amplius invenitur si datarum sphaerarum tres aut 

 duae aut una intra reliquos sitae sunt. Sunt qui- 

 dem praeterea alii quidam casus dijudicandi secun- 

 dum positiones sphaerarum datarum respectu cono- 

 rum illorum tangentium, quibus ad eundem ßnem 

 jam supra usu» sum, quos autem, ne nimis longus 

 sim, hoc loco omitto. 



Si sphaerae datae ita sitae sunt, ut trium vel 

 omnium centra in linea recta aut omnium centra in 

 eodem piano jaceant, quare intersectio communis 

 trajectoriorum planorum, qua supra usi sumus, in 

 infinitum reuiota est, constructiones ipsae quidem, 

 quas nunc expiicavimus, adhiberi non possunt, ne- 

 que vero nova huic casui singulari apta conslructio 

 ex illis derivari non potest. 



8. Circuli sunt inveniendi qui frei circulos C, C" 

 C" silii rtt" magniiudine dalos sub datis tribus angulis 



A'i A'\ A'" inlersecent. 



Solutio est duiiiex, aut enim circuli dati eadem 

 ralione aut eonitn birii eadem ralione et diversa reli- 

 quus sub dctlis angulis interaecantur. 



