485 = 



scribantur qui aut per Jiio data puncta C et G" 

 transeiintes lineatn datam C" tangant, aut per punc- 

 tum datum C' transeuntes lineas dalas C" et C'" 

 contingant, quorum conätructio, etsi a methodo 

 nostra universa directe non efficiatur, tainen ex ea 

 sine magna opera variis modis deduci potest, 



51. Gonstructio, quam proposui ad descrihen- 

 dos circulos, a quibus involvuntur ii qui datos duos 

 sub datis angulis secant, allero dato angulo evane- 

 scente, pleno jure adiiiberi potest, nihilque impc- 

 dit, quo minus eadem constructione utaris, si ra- 

 dius etiam alterius dati circuli evanescit. Angulus 

 enim C" A" B" sit ita descriptus, ut alterum ipsiiis 

 crus 0" A" per centruin C' transeat, a'terius A" B" 

 pimcta A" et B" in peripheria circuli C" sita sint. 

 Punctum medium lineae A" B" sit IM". Describe 

 circa centrum C" radio dimidia corda A" IM" cir- 

 culum C" m". Trajectoria recta circulorum , qui 

 per punctum datum C transeuntes circukim dattun 

 C" tangunt, h'neae C C" in puncto S occurrat. De- 

 scribe circa punctum S linea S C radio circulum S. 

 Constituto denique circulo C", , qui circulum S sub 

 angulo recto secet et ita quidem, ut punctum ana- 

 logicum circulis C" m" et C", commune incidat in 

 punctum datum C, omnes circuli, qui per punctum 

 C transeuntes circulum C" sub angulo dato secant, 

 ab eo circulo C", involvuntur et iisdem quidem la- 

 teribus aut oppositis ab eo tanguntur, prout datum 

 circulum C" iisdetn lateribus aut oppositis sub dato 

 angulo secant. Quo modo autem circuius G", secun- 

 dum indicatas suas proprietates , puncto G' aut in- 

 tra circulum G" aut extra eum sito eflici possit, sa- 

 tis ex iis, quae in §. 5. explicavi, apparere puto. 



52. Quibus ex rationibus sequitur, quo modo 

 inveniendi sunt circuli et qui per datum punctum 

 C transeuntes datos circulos G" et G" sub datis an- 

 gulis A" et A!" secent, et qui per data puncta C' et 

 G" transeuntes datum circulum C'" sub dato angulo 

 A'" secent. 



In priore enim problemate sunt describendi 

 circuli G", et G'", , quorum alter involvat eos, qui 

 per punctum C' transeuntes circuliun G" sub angu- 

 lo A'' secant, alter eos, qui per idem punctum trans- 

 euntes circulum G'" sub angulo A'" secant. Gircu- 

 U, qui per punctum G' transeuntes circulos G", et C'", 

 aut eadem ratione aut diversa tangunt datos circu- 

 los C et C'" aut eadem ratione aut diversa sub an- 

 gulis A" et A'" intersecant. Duplex est igitur solii- 

 tio et in utraque duos circulos problemati proposito 

 satisfacere constat. 



In alterno autem problemate , quod circulos de- 

 scribi jubet, qui per data puncta C et G" transeun. 

 tes datum circulum C'" eub dato angulo A'" inter- 

 secent, constituatur circuius C", , qui involvat eos, 

 qui per datum punctum G' transeuntes circulum G'" 

 sub angulo A'" secant. Qui enim circuli per punc- 

 ta C et C transeuntes circulum C", tangunt pro- 



== 4S6 



blemati huic tatisfaciunt, quo9 duos esse neminem 



fugit, 



33. Quae ad circulos datum circulum et da- 

 tam rectim secantes spectanl ut facilius perlracte- 

 mus, eos circulos datum circulum iisdem lateribus 

 secantes, quorum centra in eo latere lineae dalje, 

 in quo centrum circuli dati non situm est et circu- 

 lt;S datum circulum oppositis lateribus secantes, quo- 

 rum cenlra in eodem latere lineae datae, in quo da- 

 ti circuli centrutn, sita sunt, datum circulum et da- 

 tam rectam eadem ratione secantes appellabimus. Gir- 

 culos autem datum circulum iisdem lateribus secan- 

 tes , quorum centra in eodem latere datae rectae, 

 in quo dati circuli centrum et datum circulum op- 

 positis lateribus secantes, quorum centra non in eo- 

 dem latere datae rectae ac dati circuli centrum si- 

 ta sunt, datum circulum et datam rectam diversa ra- 

 tione secantes nominato. 



Quicunque circuli datum circulum G' sub dato 

 angulo A' et datam rectam G" sub dato angulo A" 

 eadem ratione intersecant, circulos G*,, et G", tan- 

 gunt, qui eam ob causam illos involventes norni- 

 nantur. Girculorum involventium G',, et G", con- 

 structio hoc modo efTici potest. Constituatur enim 

 angulus C A' ß' sub quo circulum G' secari jubea- 

 tur, ita ut alterum crus G' A' per centrum G' trans- 

 eat, alterius autem cruris A' a puncta A' et B' in 

 peripheria G' sita sint. Tum describas dimidia clior- 

 da A' B' radio circa centrum G' circulum G' M', at- r , 

 que agas duas rectas M' J, M' J quae circulum G' 

 ivr ita tangant, ut intersectio ipsarum ex ea parte 

 centri G', quae est a recta data aversa, sita sit, et 

 rectam G" in punctis J et J ita secent, ut anguli ab 

 utraque et a data recta comprehensi aequales sint 

 eo, sub quo rectam datam intersecari jubeatur. Tum 

 per punctum J linea JN', quae circulum datum in 

 puncto N' tangat ducta in recta M' J ex utraque 

 parte puncti J lineas in et In" et inter se et lineae JN' 

 aequales abscinde. Lineae per puncta n' et n" ductae 

 ad perpendiculum normatae lineae n n" insistentes 

 a perpendiculo per centrum G' ad lineam datam 

 constituto in punctis G',, et G", intersecentur. Cir- 

 culi denique circa centra C„ et C", lineis C,, n' et 

 C", n" radiis descripti quaesiti sunt. 



Circuli, qui datum circulum C et datam rec- 

 tam C" sub datis angulis A' et A" diversa ratione se- 

 cant, a circulis „C et ,G" involvuntur, quorum con- 

 structio a praecedenti non discrepat, si modo in lo- 

 cum linearum W J, IM' J circulum C M tangen- 

 tium, quarum intersectio ex parte centri G' a data 

 recta aversa sita sit, eas quarum intersectio in par- 

 te centri C in rectam datam conversa sita est sub- 

 etituis. 



Has propositiones non nisi casus pcculiares il- 

 lius in $. 5. explicatae propositionis universae com- 

 prehendere quisque intelligit. Observandum autem 

 est, eandcm exceptionem, quam illic indicavimus. 



