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m a, b. c bicfeHicn 2S«tt^c ^aiin Wie in btt ©id^ung 

 für bk Slß*«. 3(u(f) P« i(t uiiabOängig »on bn ötfiB« 

 von f. 



3n bcn 9^«i3un9cn jnjcvct £inifn, btren ©Icic^ungt» 



■^ = 4" «fl/ iutinonber, (I6ft 



X V z . X 



ab c a' 



man 6i< «uf fcie Sfic^cn, auf oiefclßcn «Berthe, wie in 5en 



S^eiaungcn btt glädjen. Sie «normalen btobaü)ttn alfo 



in bcn Sttciäungen bivfciecn ÖJcftl^e wie öie fcaju 9c^6ti3jn 



glddjen. 



3n 6ci)bcn giüen i(l ein« »on Den br«v ©tä§m 

 a, b, c tDillfutlic^. Sa biefeo jcbod) auf öie «Kc^nung 

 cl)ne einflug i(t, fo &«nu&{n mit «ä Dtt ©9"""«'"« »»' 

 Scn nicf)t. 



. 5. SB(!nnax + by+cz = o,unba'x+b'x + c'z = o. 

 Vie ©Uidjungen für jwe^ gldd^cn (infc, bie (i* im 3(bfcif» 

 («nanfonge butdjfdjneibcn , fo ifl bi« ©leid)un9 für i5»c* 



X y _ 



S3ur4>fc^nittälinie ^^, _ ^j^, — ca* _ ac' — 



ab' 



ba' 



Sa man nic^t onn«^mfn fann , ba^ bie dr^^aU^at 

 djm burd) bcn ^bfcifTenanfang 9«f)cn , fo ifl jene ®Utd)ung 

 nic^t bicjcnige bcr Äante jruf^er €n)|lnlJfläd)tn, fonbetnnut 

 ber burc^ ben Sibfciifcnanfang ge^enben, jener :Kante pa= 

 toUelen Sinie. 3n ben Steigungen fmb jebocf) U\)bi fiinien 

 nicf^t verfcijieben. 



X _ y 



6. ©inb -=j=:-unb^=p 



y _^ 



bie 



©leic^ungen jroe^er fiinien, fo ifl bie ©ieic^ung ber dbene, 

 bie butd) bei;be gelegt icecfeen f«nn, (ab' — ba') z + 

 + (ca' — aC) y + (bc' — cb') x = o. Sa bie £i= 

 nien fit^ buccijbtungen, fo ijl bie dbene immer miglic^. 



Siefelbe ©leidjung W «ine glÄ*e, lmld)t büxd) ben 

 2(6fci(Tenanfon9 unb jroe? QJuncte ge^t, beten Goorbinaten 

 a, b, c unb a', b', C fmb. 



7. SBcnn brcij gl5*en, beren (Eootbinaten fotgenbe 

 Coefficicnten ^oben, a, b, c, a', b', c' unb a", b", c" (id) in 

 parallelen Linien, ober ivenn jle burc^ ben Jlbfciffenanfang 

 ge^n, fic^ in bcrfelben fiinie burd)f(^neiben foUen, fo tnüf» 

 fcn bie doefftcientcn fold)e 3Bertt)e l)a&en, ba% 

 ab'c" + ca'b" + be'a" = ac'b" + cb'a" + ba'c" wirb/ 

 «ine fe^r leitet ju fajfenbe ißebingung. 



Sas<5re etwa bie ^fufgabe fo gejTellt, man fotte bie©e. 

 bingung für eine glädje fejlfe^en, »el*e bie bei)öengl(^d)en 

 a'x + b'x+ c'z = f" unb a"x + b"x + c"z =f '* in 

 »arollelen fiinien burd)f(l)neibet, fo mu| 

 a (b'c" — c'b 'j + b (c'a" — a'c") + c (a'b" — b'a") = 

 fepn, wenn bie föleic^ung für bie gefudjte glnc^e 

 •x + bv +cz = fM|t. ?Oion fiet)t, baf auc^ a^gefe^n 

 Bon f , beffen SBert^ »fiUig gleidjgültig ifl , eine unenblic^e 

 Xnia^l von glätten biefer ^ebingung genügen fann. 



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8. 3«i«^«Sinie, weft^ein bcv gliche ax 4- by-}.cz=f* 

 liegt, ober i^r parallel ifl, unb beten ©ieidjung 



X V z 



^ = p = — i(l, ntuf a'a + b'b + c'c = o fevn. 



gür alte bicfe ©ä^e finb bie S^cmeife föt jeben, ber 

 bie (Elemente ber Sllgebra tennt, überftüfflg. 



9. 5" ^««f«n wenigen ©n^en i(l bag 3flfgemctne für 

 fofl oUe in ber Sinjllallogropfjie oorfommenöc 9lcd)nungen 

 gegeben, ©obalb bie ö>lcici)ungen für bie ju untcrfud)en= 

 ben glddjen befonnt fmb, finnen nad) jj. 2 — 4 tHe 'Sitii 

 gungöwinfel berechnet »erben. 3n §. 5. i|l bie ©Icjdjung 

 für bie Surdjfc^nittÄlinien gegeben, <n\i rceld>er lcid;t bie 

 Sßinfel beredjtiet roecben fönnen, bie fie mit cinanber ma< 

 d)en, b. l). bie ebenen äBinfel an ben Scfen ber Stpflalle. 

 ©e^r ^dufig fommen glÄd)en »or, bie mit anbcrn paiallele 

 Surd)fd>nitte ^aben; ninn pflegt biefee! mit bem 2fu6btucfe 

 ju bejeid)nen, ba^ bie glädK» in iCincr 5oue liegen: bie 

 I)ierju nit^igen gormein finb in einem ber folgenben 2(05 

 fc^nitte entgolten (©. §. 7.> 



@cn)6f)nlic^ fd)ldgt man jeboc^ ben umgefc^rten SSeg 

 ein. 9Kan beobad)tct einige Sonen. unb aßinfclücr^nltniffe, 

 unb 6etcd)net batauö bie ©leidjimgen für bie gldd)en unb 

 tljre anormalen; oud) {jicrju fdnnen bie gormein bcnu^t 

 werben, unb burc^ bie, j»ic ivir balö fc^en merbcn, fo fe^r 

 einfachen SBerPltniffe in ben €ri}|laUen, wirb bie 2(r6ei' 

 nod) me^r abgefürjt. 



SBir Iwütben ba^er 6cj> allen im golgenben »orFom= 

 menben ^eredjnungen nun f)ierauf ju »erroeifen unb einige 

 Slnroenbungen ju machen ^aben. So jcboc^» biefe ©egcn: 

 fl(5nbe ben 3nf)alt faft aller Gr^flallograp^ien auömadjen, 

 bie nur oon anbern ®efid)l^pnncten auSgefjen unb ftc^ tot: 

 nijer ollgemeiner S)ietl)oben bebienen ali mit, fo werben 

 »vir nur bie J2.ef)vc von ben Jonen in einer ber folgen* 

 ben Jtb^anblungen Oefonbere Sufmerffamfeit mibmen, weil 

 fie, obgleich l)öd)|t intereffant, nur wenige QJeorbeiter, uns 

 ter biefen vorjüglicf) Hcumann — gcfunben ijat. 3fu(^ 

 bie in ber ©eometrie fo widjtigen "Dcfänöerungen Öec 

 (ToovÖinttun werben unä fp(5ter()in befonbet« befcbÄf« 

 tigen. 



10. ©tott bet »oUfldnbigen ©Jeic^ung für bit gliche 

 ax + by + cz =: f * ober bit fiinie | = r = - fonn 

 man obgefürst 



| +a+ b +c | fe^M/ wenn man fi(5 «in für alle. 



mof merft, ba$ bie erfle ©rÄge ber (Toefficient von x, bi« 

 gwepte ber von y unb bie britte bcr von z ifl. SBo, wie 

 ti ni*t feiten ber goU ifl, bie Unterfc^cibung bei $iofui» 

 oen unb Snegotiven nic^t berücffidjtigt ju werben brautet, 



fonn man ottgcmein [ « : b : c[ für bit gldc^e fe^en, beren 



Sigenfcfeaftcn borau« ^inldnglid) entwicfelt werben Wnncn. 

 SDiefe ?&ejeict)nun9 ^at ju viel 3fe^nlid)feit mit ber gßeigii 

 fdjen, flU bog mon ^{er nidjt me^r ol« eine iufdOige Ue. 

 6«te(n|limmunB pertnnt^en foUte, unb ia ber i^ot jinbbcp» 



