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ntm ©pfleme ober einer Claffe/ b«^ ttnta bit SlAd)fn6(n 

 in ^en vothtt^tf^tnbtn 2(l)f)anMungen btflintmten ^efe^m 

 foCa«n; bit vetf^itbentn lirttn von ©ruppm, tvobcv biclX 

 mdglic^ ifl, bilbtn bit 0vt>minQmf roooon jebe roici)erbie 

 (injelnen (£ryftallreit)cn (nt{)ält, bcren eä fo viele gibt, 

 oli ba< &tunb\)tvi)äHni% a : b : c oerfd)iebene 3&ert^e i)a: 

 6cn fann, bit in ber iRegel irrational fepn müfTen, ba P4> 

 bit 2(nja^( ber rationalen ju bcnen ber irrationalen wit 

 I : 00 ver^dlt. SBir bikfen hierbei) foqar bie Sßurjclgräs 

 ^en ju ben rationalen redjnen. S)ie Unterfd)iebe, bie in: 

 ntr^alb einer einjclnen ^n)f1aUrei^e &tatt finben fönnen, 

 unb vocjügiic^ bepm regulären ©^fiemt auffalUnb finb/ taf« 

 ftn toir fitr i<f}t unberücffict^tigt. 



llnttt ben Orbnungen einer (TiafTe ifl eine burcf) if)re 

 Symmetrie unb ben 9ieid)tf)um an gleichen au«ge,^eicf)net; 

 wir wollen |i« bie fymmeti-tf(f)e nennen. 3&ce ©tuppen 

 ^aben bit größte 2lnia^i von gtdd)en, bie in ber ^taffe 

 ntdglic^ i|l, ali'o bie in bem vor^erge^enben ^bfd)nitte tnt( 

 wicfelten. Sie iibrigen Orbnungen i)abtn geroöf)"''^ "uc 

 bit ^il(tt ober ein Viertel betfelben, unb man {)ielt ftc^ 

 beg^alb für beredjtigt, bie f^mmetrifdjt ali .^auptabt^eilung 

 JU betraci)ten/ bie übrigen aber ali mef)r ober weniger bes 

 beutenbt 3(bweid;ungen bavon. 



Sa tit trejflic^e ^ejeic^nungiatt bti Jptttn ^rofef* 

 for ÜBeig a\iä) i)ier bie einjige ifi, weiche nid)^ ber ana« 

 lutifd^en ju ben folgenben Unterfucf)ungen braudjbar ij!, fo 

 bemerfe id) nod), bog bie aniufüf)renben ^oi^'^*'" uns 

 mittelbar auf be^be ^Diet^oben antvenbbar finb; nur bt\) 

 ben einfact)en ®cuppen muß, roi« im vor^erge^jenben ^b: 

 fd^nittt, gatt 



unb llatt, o , 00 gefegt werben. 



SBir Beginnen mit bem regulären ^\)ftmt, ttteü bef< 

 fen Unterabtbeilungen fd)on befanut fmb unb wnfre S8er> 

 fa^rung«art bafcer leidster bcurtfteilt »erben fann. ©on(t 

 ^dtten wie mit bem iwevglieberigen ben Tiafmi mac^tn 

 muffen. 



A. ©aö reguläre ober ifomctrifc^t ®9(lem. 



©ie ©ruppe ifl fymmetrifc^ um bie bre^ 2[4fen ge: 

 lagert, unb wenn einige 'Släd^tn eint gewilTe Steigung et: 

 »a jur 2fc^fe z ^aben, fo muffen eben fo viele biefelbe 

 Steigung ju ben 2Jd)fcn y unb x ^aben. SDiefet iDebin» 

 gung wirb ®enuge geleiflet , fobalb wenn 



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\ +aa + ßa+ya (i(^ finbtt auc^ 



1 + ga — |?a + ya| iioii^Ut i(l, f» fflttn 0U<^ 



1 + ß^ — ya + tta| 



+ ßa 



nic^t fehlen. * 



3ent ^ebingung ifl jeboc^ not^ nic^t ^inreic^enb, um 

 bat reguldre <Sii}(!em ju t^aracterifieren , inbem bie brep ge» 

 nannten ^iädjta aud) fymmetrifei) um eint Cinit iitgtn/ 

 bit bur<^ 



+ a 



+ a 



obtt 



X = + a = + z 



6e|limmt wirb unb bo^er aucf» jum fe(^«gticbertgen ge^Ärtn 

 tinntn. Siefe« finbet aber nic^t tne^r etatt, wenn au<^ 



1 + ß» + ?" -f-g"! unk 



l + yajfaajfjjaj 



vorfommen. 5>a« ©efe^, woburt^ biefe ^Idcften {ui 

 fammenf)dngcn , i(i tlar unb auf aUt $411* antpenbbar. 

 SaSenn ä- ^^ 



j + aa + ßa+y al 

 l-f- oa — ßa — ya\ 

 | — <K3 + ßa — ya| 

 | — «.1 — ßa + ya\ 



gleidtäcifig vorfommen. 5>urc^ bie (Jombfnatien biefer 85e: 

 bingung mit ber vorl)ergf^enbcn wirb für jebe t£ti?|lallgrupf 

 pe beö regulären ©i)|lemS bie Sebingung oufge(lellt, bai 

 (i(^ folgcnbe n glddjen gemeinfcf)aftlie() finben muffen: 



| 4- a-^ + ß> -Fyä"! | +^a+ ya-P^I ) + ya + ca + ^Tj 



1 + na — ßa'^ ya| | + /3a — ya — ca| | + ya — ca — j3a| 



1 — ca + ßa — "^1 | — /3a+ya~ ca| j— ra + ca — ^a| 



| _ ga — ßa + ya\ | — pa — ya + (ta\ | — ya — aa + ßa\ 



b. l). fobalb man bie red)twinfligen Soorbinaten fo gefielll 

 ^at, ba^ eine ben bcobad^teten gldc^en bütd) einen ber an» 

 gtflebencn 12 3lu«bttide bejeid)nct wirb, fo fann man über» 

 jcugt fi'pn, bog öud) bie übrigen 11 vorfommen finnen, 

 unb ba$ ti blo§ 5"fdllig ifl, wenn fie fid) nicbt finben. 

 Sag &(]'(% ift einlcudjtcnb, unb man wirb fef)en, ba0 man 

 immer auf biefelbe ©ruppe (löjjt, von weldjjer gldd;« man 

 fludj auöge^e. 



Um bit 12 gldc^en leid)ttt «uf bem 6mol 8fli<^nei 

 pnben ju f innen, bemctfe man, bog von 6 glücken, bie 

 übet einer Octaeberfidc^e liegen, bie etfle, britte unb fünfte, 

 unb ferner bit äwe^tt, vierte unb fedjfte gemtinfc^aftUt^» 



• «, ^ unb y finb nttimUä) reine 3ablen. bie atf» "«t 

 negatio werben fSnnen; ba« Stcgatiöe ifl alfo in ber 

 ©r6§e a, unb bf? ben folgenben ©pflemcn in a, b unb c 

 JU fud)en , roel^e alt Sinien pofitio unb nesacip fe^a 

 t&nnen. 



