673 = 



2(uffdte «bfr ©egenftdabe ber reinen Tlat1)matit, 



Safcl IV. S'fl-"-*- 



I. 3((9c6roifcf)« ?fuf(«|un9 t«r Äufga&c: ben ®urd)mefTet 



eine« MvdUi. oiiö 6rc\j gcgt&entn nneinanbccjloienDeu 

 &(^nen j^u beilimmeti. 



SRfltt fann eine ©(eic^ung jmiWen 5cn bre^» ®et)ncn 

 cli btn bti\) (Seiten, unb bem SucdjinffTec olö bet »Icts 

 ten ©eite eine« SQiererfä im 4»al&fcei)e ouf folgenb» 2lrt 

 finben : 



Srflenö jiefie man eine ©iagonate beä 53iftecf«; bicfe 

 werbe bucd) a 6ejcict)net. 3n>«V gegenüberftc^enbe SBinfcl, 

 burc^ welche bie ©iogonale nid)t ge^t, nidgen biicd> m inib 

 n bejeic^net tpeiben. gäüt man au« einem bietet S5inte(, 

 j. ©. bem SBinFel in, ein t'ot^ auf bie 25iagonale, fo jcr» 

 fällt fol^e in jroei) 1l)tik; ber eine 'i^eil fevj = x, unb 

 baS Zoti) = y. QSejcic^net man ferner bie Ocijben ©eiten 

 (jwcv) \>en ben gegebenen ©e^nen), it)cld)e bin ößiufel m 

 etnfdjlic^en , burd)punbq; fo i(t fomof)! y» = p=— x*, 

 ald aud) y* = q' (a — x)'; barauö folgt, ba§ x — 

 =: p'-f-a'^ — q' i(t. SBirb ber Sffiintel, meld)et bem 80» 



2a 

 t^e y gegenüberliegt, burc^ a bejeidjnet, fo f)at man 

 Cos a z= p^ + a* — q°, unb a(fo ber 2[nologie nod> 



aap 



Cos m = p* + q* — a*. Sffieiter j(l n = 2 R — m, a(fo 



2pq 

 Cos n = — Cos m, folglich wenn ber Surc^mc(Tet butcp 

 z, unb bie britte <Se^ne burd/ s bcje)d)nct wirb : 



Cos m = a» — s* — z^ JDiefe 6ev;ben SBertI)« für 



2 zs 



Cos m einanber glcidjgefe^t gcb.-n nad) ©ubflitution bti 

 SBert^eS: z' — s* für a*, bit Qjleidjung vom brüten 

 @rabe: 



z' — (p* + q' + S*) z — 2 pqs =: O. 



2)tefe ©leic^ung l)at eine reelle pofitiwe SBurjel, »eil 

 (ic von ungetabem @rabe, bai er|le Q3U(b pofttio, unb bai 

 3af)[englieb negativ tfl. 



II. aSerfutfe einer genauen 2fuf(6fung bc« .^eptctfc^cn 

 'Problem«, wann bie Sycentticitclt fe^r bcbeutenb i(t. 



SDiefe Stufgabe ifl, wie befannt, folgenbe : 



55ie gliche eine« ^albfteife« con einem gegebenen 

 ^uncte be« Surc^mefTer« au« fo ju tf)ei(en, ba^ ber lljtH 

 ju ber falben Äret«fldd)e ein geroiffc« SSet^nltni^ Ijabt. 



g« fei) BNA (ün. f. b. gig ) ein ^albfiei« , ber 

 butd) bie gerabe fiinie DM, von bem ^"»uncte D besSurd)« 

 mefffv« au«, nad) bem gegebenen 5Scr^ditniffe gctl)eilt werbe. 

 Sernet »erbe ber ©ogcn AN in einem fold)cn iScrf)ältniffc 

 jut falben ^eripljerie genommen, wie ber ©ectot ADM 

 jur Slid)e bc« .^albfreife« ^aben foU; tnblid) jie^e man 

 DN, mit biefer Cinie parallel ben J^albmeffcc CP bie gcra^ 

 ben 8inien CN, DP unb bie ©e^ne NP. 

 3f?« i8äö. *eft Yii. 



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€« fei) ber S5(!i!el NC\ = m, fo i(t ber ©uppU^ 

 mcntSiPinf.t DON = 2 R — m, unb roenn ber '21b[ianb 

 be« »Puncte« D vom ^ittelpuncte G bavd) e bejcidjnet, 

 ber ^albmeiTcr NC a6et = » gef«|t ivirb; fo i|l 



I. tang % (CDN — DNC) = i — e . tang % m. 



Ulli biefer ©leidjung ergibt fic^ bie ^albe 25ifferenj 

 ber 3Binfel CDN unb DNC, unb ba man auc^ xfjvt t)alb« 

 ©umme = V, m fennt, fo wirb ber aßinfel CDN, ober 

 aud) ber ffiinfel DNC befannt; m';tl)in finb alle äBinfel 

 be« 55rci)ccf« NDC, unb wegen 'Potallelitdt bet ©eiten 

 ND unb PC, aud) bie ®infel PCA unb NCP bcEannt. 

 getnet, ba PCA = CDP + DPC, fo ifl 



II. tang V, (CDP - DPC) = 1 — e . tang % PCA. 



i+e 



.^ierau« beredjnet man btn 35iiiffl CDP cbct btn 

 ffiinfel DPC. dnbtic^ mu^ neu) bie ©eite PD beftimmt 

 werben, unb e« i|i 



III. PD = Sin DCP 



Sin CDP 



©et ejcccntfifd)« ©cctor ADIVT befleljf au« brep '5fiei( 

 len; au« bem ^rei«au«fd)nifte ACP, bem £)iei)ecfc PDC 

 unb bem e):centrifd)en ©ector PDM. 5)er Ärei«au«fc^uitt 

 ACN i(t ebenfall« au« brei) 'i[)eilen jufammenqefeljt, ne^m= 

 lid) au« bem .Krei«au«|"c^nitte ACP, bem X»reuecfe CNP 

 unb bem Är«i«abfd)nitte NMP. S)a nun bie SJtcijccfe 

 PDC unb CNP g(eid) finb, fo folgt barau«, bog ber ix= 

 centrifd)e ©ector PDM bem &rei8abfd)n!fte NMP gleich 

 i(l. Sicfet Ärei«abf(6nitt aber ifl bie Differenz äwifc^cn 

 bem Ärei«fcctor NMPC unb bem ©tevecfe CNP, alfo 

 Seg . NMP = % NC* (arc ang NCP — Sin NCP)- 

 S>er ejcentrifcfte ©ector PDM l^t fid) nur approtimative 

 be(limmen; inbeffcnin betSBorouefe^ung, bap PD von MD fe^c 

 wenig unterfd)icben ifl, wirb PDM = '/^ PD'Xarcang 

 PDM fei)n. SBirb biefer SSettf) bem äßett^e be« Ärei«< 

 fegment« CNP gleict^gefe^t, fo erhält man 



IV. arc ang PDM = CN' (an- ang NCP Sin NCP). 



PD* 



SMefer ^ogen, ju bem Otogen be« JBinfcl« ADP ab« 

 bitt, gibt bie üönge be« ?Bogen« be« SSinfel« ADM ; alfo 

 Wirb ber $)unct M benimmt, burd) ben bit 'il)eilung«lin5e 

 DM gcl)cn mu§. 



(f « fei) i. 95. NCA = m = 60°, DC = e = o,2o878; 

 fo finbet man ben Sßinfel ADM = 42°36'45". 59- Sfl 

 aber ber 2Binfel ADM befannt/ fo tann aud) bie f)albe 

 glnd)e ber ISllipfe, welche ober ben Surd)mcircr bc« .^vei= 

 fc«, md) bem ajerl)ti(tni(re biefe« 2)urd)nufret« ober bec 

 großen jur flcinen 2lr«, befd)tieben wirb, fo get^eilt we.r^ 

 ben, ba^ ber %i)tü ju ber Ijalben dlllpfcnjläcfce eben baS 

 Söer^dltnig Ijabe, waS ber 5f)eil ber falben ^reiöfliidje juc 

 g(Äd)e bti 4al6E«ifc« ^«t. €« fei) BGAB bie i)albe gLa-- 

 d)e biefer SIlipfe; man fälle au« bem QJuncte IM bai 8otl) 

 MH auf ben 5>ur(t)meffer AB unb jie^e DG: fo vcrf)nU 



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