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^Kann t>«s reguläre ^cofa^öec t»er (Geometrie 

 in t»ei- Hfttur erfc^cinen:^ 



Sffannfltc^ i(l hat fogtnannfe Scofaeb« ber 5OTine» 

 tafogie ftineätvegeä eine einfache / t). t). con (|leic^en unb 

 <li^nUd)in, fonbern eine combiilierte/ b. ^. con »erfcbie« 

 fcenortigen 2)tcpe(fen umfd)Io(JeBe ®e|talt. Sic einfädln 

 ®e(taltcn, roeldjc aI8 ©liebet biefet Kombination aufttctcn, 

 finb bai S^entagoniSobecaebcc unb Ccta'ebet, beten gld= 

 4)en in ein gewiffed SSet^dllnig bed gegenfeitigen ©leidige« 

 »i(l}te« getteten finb, fo bag f\d) üon feinet oon bcpten 

 ®e|Talten 6el)aup(en idgt, fie fcp bic t)Ot{)eitfd)enbe obetuns 

 tetgeotbnete. JDie ©obccaebctfiadjen ctfdjeinen aH gicicft. 

 fdjenflige , bte DctQebetfläd)en bagegen ali gleidjfeitige 

 iDtepede. ©oUte abct biefe« ^feubo > Scofaebet mit 

 bem geomeliifdjen Scofafbei ibentifd) roetben , fo müg» 

 tcn bie Sobecaebetfiddjen cbcnfaU« ali gleicbfeitige Stepede 

 in bet Combination etfd)cincn ; bicfe SBebingung refitbe eii 

 ne ganj befonbete Scfdjaffenbeit bet pentagonalen ßlddjcn, 

 unb, ba (egtete von ben äoefficienten n in bem allgemein: 



oo O n 

 nen Beidjen abfjangig ijl, einen befonbetn SBett^ 



biefe« doofficicntfn ootauSfe^en. 2)a ti nun ein allgemeif 

 ne« 9?atufgefe6 i(l, bag bie ßoefficicnten m «nb n, ob« 

 bie ?(bleitung«5rtl)[fn bec dcpflaUgcjlalten iiut rationale 

 Wcrtl)e baben f6nnen, fo rcitb man bie SKiglidifeit bc4 

 SSorfommeng be« teguldten Scofaebet« mit betfelben 83e. 

 fiimmtt)fit, reie jene be« jöotfommen« be« teguläten ^cn= 

 tagonbobecacbetg oecneinen fönncn , fobalb tjetmoge bet aUs 

 gemeinen aSetbältniffe bet Q)entagonbobecaeb<( jentt bcfons 

 bete ^tUi) oon n titational tvitb. 



cos b =r — 



^ 6l fepABCDE ein fpmmeftifcfie« Pentagon, tele fie 

 oDein ali 23egtaii5un(?«fläd)en bet in bet Statut aufftetcn; 

 ben Pentagon • £)ubecaebet Dotfommen finnen, olf9 



AE = AB = ED = BC 

 ffiinfel ABC = AEC = b 

 EDC = BCD = c 



bet einjelnc ^Binfcl BAE fep = a; man flnbet au8 ben 

 ®leid)ungen füc bie Jtantenivinfel bet Pentagon »Sobeca- 



, ooOn 

 übet aOgemein fut — - — 



cos c =: — 



unb fcrnet 



n ' — n * + n 



1 



/n* 4- n* + i 



a n 



sin . - = ■> 



« /n* + n" + 1 



Sin . - =: /"^ + n» + n +;T 



Sn ben ^feubo = Scofaebetn bilben bie diagonalen 

 AD unb AC bie ©djenfel bet 9leid)fdjenfligcn ©tepede, 

 weldje bie einzelne Q)cntagonfcite DC jut Safi« baben. 

 @dbe ti nut ein ^entagonbobecaebet, »eldjeS mit bem£)Cf 

 t4cbet baS teguldte 3cofa«bet reitflicjj batjuffeUen tjetmodjte 

 fo niügie AG obec AD = DG fepn. Qi fömmt alfo nut 

 batauf an, AD unb DC ollgemein ali gunctioncn oon n 

 ju bePimmen, unb ju feben, ob bie ©leidjung AD = DG 

 ouf einen tationalen SBeitb »on n fül)tt obet nid)t. Wlan 

 fdUe tjon A auf DC tai ?»erpenbifel AH, fo ijl DH 

 = HG, iicf)e bie EG pataUcl bet DG, unb fdlle t)on E 

 auf AD, »on D auf EG bie gjetpenbifel EF, DK. 2)a 

 nun AE = ED 



fo i|l AF = FD = Vi AD 



unb W . AEF = W . DEF = % b 



Seiner i|l : 



W . EAG = W . BAG = % a 



W , KED = 180° — c 



©efef man olfo AE = ED = i , fo ijl 



EG = sin y, a 



AF = sin V, b 



EK = cos c 



DH rr KG = EG — EK = sin V, a — cos c , 



Sa nun AF = % AD, DH = % DG, fo 'silt 

 fAt unfie SQoiauefegung bie ©leic^un^: 

 AF = DH 

 ober sin '/, b = sin % a — cos c 



©ub|!ituiett man obige 2Bettf)f oon sin ly, b, sin 

 '/„ a unb cos c, fo ettjdit man folgenbe ©leic^ung fut n : 

 n* -f- n' — an* — 3n — i = o 



tscl(f)e feine ganje, unb folglich (autcc itrationalr 2a\)Utt 

 JU SÖJutjeln ^at. * 



goIgli(ft muffen wir bie ^taqt, ob ein ^entagonbobes 

 taebct Dorfommcn t6nne, rceldjcö in feinet Sombinaiion mit 

 bem Cctacbci bo6 teguldte Scfacbet batfleUcn aetbe, ober 



n" — I 



cos a =r — 



+ n» + i 



P iDenn I ifl ju (lein, jebe Qxlittt ganje 3abt iu gro$ ; 

 *' gebto^ene rationale SQurjdn tonnen nidjt Statt fintcn, 



ba alle Soeffictenten ganje labten unb bet (Sotfficient con 



n* = l'ij». 



