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fei« ur.b bif bfr^arariflcnunmiftflfcar ntitn finanb« jTfKff, 

 f' ni'irUiT fi.1i btrtf sfdfnff't'S ccldutfrn, unb bcr f8croci§, 

 t.ig «Tar.TU.-üinKn, aa* ing Unfnbli*e ralangcrt, fid) nid)t 

 fdncibcn frtircn, trärc ganj iifccrfliif|tg. Set Scbtiing 

 reucte fcfgtfifcn, tag Difbcnlinien (Sinien auf einet giädie) 

 entroeb« eine gjeigung gegen einantet l}afcen, unb fic^ 

 tann not&roonbig f^neiten (23infc(), cbet baf fie ollet 

 Sfleigung ermangeln, tromit bie UnmögliÜcit be« (gdjnci: 

 benS unmittelbct einieudjtet. Senn »cn bet (s«a= 

 ben) £inie t)at bet 2ef)r[tng, tetmöise eines 5roetfmäBi= 

 gen (5[ementarunterttd3t5, ben flaten SSegtiff, bag beten 

 SBefen in bet bfftimmten, unt)er,inbetten 3vid)tung (eineS 

 bewegten »Piinct«) befieht. St ficfjt alfo ein, bap tet Süinr 

 fei ocn bet 'Devf6ict>en^cit öcr ^idbtungctt^ ton bet 

 r8vf*iet>cncn iLage bet üinien lii» einer gben) obbangt, 

 öet Söegtiff bet «)acaUelen bagegen in bet gleicbcn !2\id)' 

 tung otet ^aqe bei Sinicn befrcljt. Sic f\itaüelcn tegie; 

 ten alfo ben aüinfel, bet SBinfel bc§ ^aiaUelfern bet !üi= 

 «ien. — Qben fo bebatf ber Sag: SQJenn jiren ^aiaUe: 

 len von einer fctitten kfinie s'f*niticn iretfcen, fo finb bie 

 cntfpredienoen fflinfel an berJen parallelen ginien (5. S. 

 bet liu^-ete bem innecn 5ufammenge!)ctigen über, bet innetc 

 tjon bem äu§etn jiifammengehörigen untet ben ^^atallelen, auf 

 bet ledjten, rcie auf bet linfen geitej einanbet gleid), fei: 

 neä Seireife«; benn ber (2a5 folgt unmittelbat" auS bem 

 JScarifi bet >})ataüelen unb bem bes JSinfelß: ©lcid)C DJic^; 

 tuiig — gleidje Sage gegen eine britte, fdjneibenbc ginie, — 

 Öleid;e?oge, - gleirf)? ^ici^ung, — 9leid)e 53in!el — 

 baS falit ja aUii in ciiiS jufammcn, unb reie oiel bilben= 

 ber niu§ d f»t ben Sehrling fei^n, rcenn man iljn, fJatt 

 unnötbiget, 5eff}reuenber Serocife, auf bie cinfadje, fitenge 

 golgerung nufmetffam madjt. 



3rn bem ctirafjnten 2e()tfa§e, in Setteff bei ^atadc; 

 Ien unb bet fie fd^nci^e!lcen gmie, lägt fidi bie Unjreecfma: 

 figfeit bet gangbaren CKetbobe tedn anfdjaulid) madjen. 

 Si^ffet ge^.rfa^, bet, wie fo eben gejeigt rcurbe, bcp sreecf» 

 masiget üJfetbobe, feines SSeiveifeS bebatf, aug rceld)em 

 ffd) abet viel rtn^etroeitigc gMgcrungen mad)en laffen, rcitb 

 een unfetn 9)?atbematifern in eine ianje (Reibe üon £e^t: 

 fäfeen jerfpalten uiib fit jebcB ein bifonbetct SSeroeif gelier 

 fett. 3n bem corliegenben Seijttudje finben fidj folgenbc: 



§. »9. J2.ef)vfaQ. 2Srnn jtrep ginien, reeld)e in 

 citicf (Sbene liegen, von einer btittcn fo gefdjnittcn roerben, 

 ba§ bet äupere -ISinfel an einet ginie bem innctn äufam= 

 mengebotigen an bet anbern gleid> i(i; fo finb bie (bejeidjä 

 rcfcn) ginien einanbet patallM. 



Set 5;.eiveig folgt. 



$• 30. Jic^rfaR. Sßenn jmci; gctabe Cinicn tion 

 einet britten fo gefdjnitten «erben, bap bie bepben innetn 

 äufammtnsehöcigen Söinfcl jufammcn 2R. auämadjen, fo 

 finb bie ginien parallel. 



Set Sercei§ folgt. 



§. 3r- 2üenn jmcp gctabe ginien Bott einet btitfen 

 fo gefd5;iiiten rcerbcn, baf bie 5Bed>felrcintel gleidj pnb; fo 

 finb bie ginien parallel. 



Set iBeroeig folgt. ^ 



$ 33- Äe^rfa^. ®enn iwep Sinien paiallel (inb, 



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unb Ben einet btif'cn gefcftnitfen tteiben, fo ifl bet .^ufeti 

 SSBinfel an ber einen, bem innetn jufammengeljcrigen an 

 bet anbetn gleid). 



Ein langet 23en?eif folgt. 



§• 34. £ef)rf.an. ÜBenn smep ginien parallel finb, 

 fo machen bie bepben innecn iufammenge^itijen SDBinfcI jwep 

 R. «u§. 



Gin futjet SSeroeig folgt. 



§• 35- Äefjvf^n. SBenn jaep ginien pataHel finb, 

 fo finb bie SBei^felroinfel bcp benfelben einanbet alei«^. 



SSJitb ebenfalls beroiefcn. 



^- 36. JS^rfjvfrtß. 5Senn jtten obet mebrcte in QU 

 net (Sbene befinblidje ginien mit einet anbetn paiallel ftnb, 

 [0 finb bicfelben aud) untet einanbet patallel. 



3lbermaIS ein SSereeig. 



3n ber Sfcat, ein anfef)nlid)et 2fppataf »on ge^tfagcrt 

 unb SSeireifcn, reo cigentlidi feinet notfeig ift, reo alJeS un» 

 mittelbat auä ben blopcn Segriffen bet ^ataUelen unb beä 

 SBinfelS unb auS ben einfad)rtcn SSeiljaltniflen bei legtetn 

 fslat. CBüffen bie ge{)tlingc fcep biefem äcrfiüdelnben jfuäs 

 einanberbebnen einet einfad)en ©runbroabrbeit in eine ?D?en( 

 ge befonbetei geljifäge unb Seroeif e nid)t }er|Ttcut, von bem 

 @efüM beä notl)rcenbigen Suf'inimen^angä bet S3etl;''.ltni|fe 

 entfcembet unb gewohnt »reiben, b«S ßin^elne alS ^au:fU 

 fad)e, ben Sufammenbang nur alS S5erf5eug, ben SSeireig 

 als nott)bücftigen ©ebtauc^ beS ÜBeifieugS ju betiadjten? 



Sag man gen)o{)nlid), nad) einigen «oi«ulgcfd)icffen 

 (Srftätungen, goibeiungen unb ©iunfefä§en, fogleid) mit 

 bet (Jlementatlebre bet Stecetfc (üotjuglid) bie Gongtuenj 

 betreffenb; ben Sfnfang mad)t, i(l aud) nidjt fnjlematifd). 

 Senn biefe gef)te fegt bie genauere Äennlni§ bet SBinfel 

 unb beten ©tunboettjiJltnine, in Sejieljung auf bic?>aialle= 

 len soiaus, unb bicfet ©toff ifl teid) genug, um i()n }u 

 einem erften begtünbenben 2{bfd)nitte jroeimaßig beaibeiten 

 JU fönnen. 23etm6ge biefet Segtünbung reüibe fid) bie 

 gc()ie Don ben Gigc.'.fd)aften bei Stet^edc anbetS unb beffet, 

 äum 2l)eil üiel einfad)et, befonbetS t)infid)tlid) bet SBerceife, 

 gefralten, unb mau hatte nicbt notbig, ben Hufammentjang 

 beS Untetiid)tS buid) (Sinfdjaltung teS Betfäumten übet bie 

 9?atui unb SBetliältniffc bet SBinfel unb parallelen ju un^ 

 tctbtedien, fonbetn »ielmeljt ben SSoitbeil , bap bei get)t£ 

 ling übet biefe Söetl)ältniffc fdjort Boll(tänbig aufgeflact mit 

 te, unb batiei fid) befio leiditet in bie Sigenfttaften bet 

 Stepecfc unb bie batauS folgenben nothrcenbigen Sejie^un- 

 gcn bei Seiten unb SBinfel finben rcütbe. 



<So lange bie fOTat&ematifet baS 9JoiutfJ)eiI, b. fc. 

 ben 3tttt)um ftegen, man fcnne bie [Katt)cmatif alS 2Bif; 

 fcnfd)aft (iubieien 'obet betteiben, ohne fid) um bie ^bilo-- 

 fopbic 5u befummeln, bie fie alS eine bet 3Watf>ematif 

 ftembe ©cirnj bctiadjten, fo lange treiben fid) bie matlie-- 

 matif*en getirbiidjet eirig in bemfelbcn Steife berumbteben, 

 b. l). fein neues lüitb einen iiicfentli(^en ficzt\(iivitt jum 

 Senein enthalten. — Sag bie aßiebetgeburt bet ÜRatte= 

 matif nut auS ber ^^ilofcp^ie tommen fann, wäie eine 



