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ttt jut 55f5tunbun9 mti)xtttt Tia^tijtUm t)«anfflft. ßä 

 fi'nb npljmlirf) jirfo Sinicn AB unb CD (g'ig. ir u. 12) 

 iTiittclIl bcc fcnfrcd)fcn 5?otmn[c MN pntallel; nimmt man 

 tiun MS =1 NS' unb f^Üt man «on bcn ?>unctcn S unb 

 S' ^ftpenbifcl ST unb S' T' nuf bic geflonöbcriicgcnbe 

 parallele, fo foKcn bicfc f»frpfnbifcl pavaliclftnus l)tU 

 im. (56 reitb a. 0. £). flcjeigt, biig fcldjc ^arQÜe(finu(Te 

 filfic^ finb, unb bog bic 5BinfeI, bic jcbcr ^rttaHcIfinuä 

 in ben ^unctcn S unb S' mit eincc bcc parallelen, unb 

 jronc gegen bic [l'Jorniflle i)in bilbct, gleid) fc^n müfTcn; 

 bag alfo (gig. II) MST = IMS'T' unb (gig. 12) AIST 

 = MS'T'. enblid) fudjt 4Jr. ^. §. VJII, IX, X, XI, 

 ju jeigcn, bag bec SBinfcl MST (gig. 13), bcn ein 'patal. 

 lelfinuS in bem ^'*uncte bet einen parallele, aixi rociffjcm 

 tt fluf bic anbete ^atallclc gefällt trul•^c, unb fo mit ber 

 ctffctn parallele, nnd) tn ^formale iMN ju, bilbet, lue; 

 t)ei' fpitiif ncd) ftuir.pf/ bahn iiut ein vecljtcc fci;n Hn-. 

 iie. Siefc SSc^auptung abct ifl fcic 58nfiÄ bc6 S3eivcifeö, 

 bet bann fpatev für baS XI. 2fviom gegeben reicb, unb ivir 

 muffen baljer bic ©rünbc für bicfelbc einer genauem ^tü; 

 fung untcrroctfcn. 



Suctft ttctbcn für bic SScIiaupfung, ber bcjcidjncte 5B. 

 MST tinnc rocbcr fpiß uod) fiumpf fepn, jmcp SScrocifc 

 l<cpgebrnd)t, von bcnen ber SScrf. ben etflcn Siieg in feiner 

 (5infad)f)cit für vcrjüglidpcr, ali bcn jmeijten etflärt (©. 

 SJorr. X.). Scnct erfic SScmei^ ftüfet fid) aber einjig auf 

 ben ©aß: butä) einen ^"»unct fann nur eine cinjige ^araU 

 lele mit einer gegebenen graben Sinie gebad)t n^crbcn, ben, 

 itic trit ftüf)cr jeigtcn , ber 33erf. in feiner 2Bcifc euibent 

 largetfjan f)at, rce«I)alb bcnn bem erroaljntcn erfien S^eroci= 

 fe alle »^altbarfcit übge[)t. '" 2)fi: ®nng teS äiucptcn ?3c/ 

 ireifc« ift fürjlidj biefer: 



gcjcigt; id) weif tit^t warum iä) bicfc SJofc in bet jire^« 

 ten ^fuflagc »trgclfcn tjabe; n)al>rfci)cinlic{), weil id) iien 

 ^cffmannifdjen ©a| in ber ccfien Auflage aUgemcin er; 

 Wicfcn unb baburd) crft ganj btaudjbar macf)te. ^crc 

 .^offmann l)atte ben ®a^ nur inbuctionSmAfiii für fpi^c 

 SBinfel erwtcfen , toeldje aliquote Äljeilc bcö rc(f)ten VZitu 

 teli ftnb, burd) fortgcrettc ^xilt'icrungcn ccbaltcn. JDurc^ 

 einen nici)t gans Ictdjtcn geomettifdjcn SBeirei^, ^abi i^ 

 Sejetfl,t, bap ber ©o§ oon jcbcm fp. SBinfel flclte. 



9{ote. 3$ ttitu f)ifr cincä eimpurfeä erreSbncn , bcn mir ein 

 Äenncr, glei<6 nati) ©rfdici^img ber äiücytcn Auflage mad)s 

 te; er fagfc: JDrr »puiict S aui Kicld)cm ber 'ParaUeliSr 

 muä ST auf bic ^nraUele NT fällt, biefer ^unct S luirb 

 in ber ft^on Dovljanbcncn anbern parallele 

 orgenommcn; aber in ber 5(ufgaSic Ci^ii-. 5 ber Smleit. ) 

 ifl ber 'Punct »ovf)er gegeben unb nad)^er erffnjirb 

 fcic ^atnUele burd) bic[cn 'punct coiij^ruiert ; bnt)er fann 

 ©a^ (-7ir. 5 ber OtinlciU.) nidjt in feinem ganjen Snnbc- 

 guirc hicfjcr gcjogen roecbcn, 



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„es feijen (Sifl. 13) AB,CD miftclfl ber fcnfrcdjtcn 

 9?ctinale MN parallel, unb auä einem ^punctc S, ber AB, 

 fco ber 5Bintelfinu6 ( foll ^laraUcligmuS beißen) ST duf 

 CD gefallt. 5ßate nun 3TST ein fpigcr SQäinfcl, fo roür» 

 bc ein '^'erpcnbifcl aui T nadj AB auf bic «Seite bicfc« 

 fpi^en SÖinfcIS fallen. 25et gugpunct p beS ^erpenbifcia 

 »tiürbc entivcbcr i, in M, ober 2, jirifdjcn M unb A, oben 

 enblid) 3 jirifdicn IM unb S liegen. Sit Sage 1, unb 2, 

 fann aber nicbt fiatt finben , weil fcn|l in einem ^untt 

 jrocp ^etpcnbifel raöglid), ober in einem Stiangel jwcp 50Bin» 

 fei =: 2 OJed)ten ivären; bcp ber ?agc 3, roürbe man aber 

 au« p einen ^arallclfinuä nadj NT fällen f5nncn, bcffen 

 gufepunct q jivifd)cn N unb T läge: unb fo gäbe c«, im» 

 mcr au« 9leid)cn ©rünbcn, auS q auf IMS b'cn ^arallc|inu« 

 qp' aui p' nad) NT ben ^arallclftnug p'q' u. f. it. 

 £)ic eben angcbcuteten Gonfiructionen, bic ing Uncnbli^)« 

 fortgefegt rccrbcn fönnen, bringen auf MS unb NT ©eg» 

 mcnte l)crooc, mt Sp, pp', p',p", K. . , . in inf., 

 ttjcldjc lücbec nad) aritt)inetifd)cm nod) geomctrifdjcm 9?ei 

 d)en3efe|c abnehmen fönnen. Senn nätjmcn fic in atitl)s 

 mctifd^er ^rogrcffion ab, fo müfte man ein ©lieb =: o 

 ober negatipc ©liebet erhalten; eß muffen alfo bic eben am 

 gefüt)rtcn ßenfftuctionon cnt;-cbct abbvcdjcn ober rücfg(än= 

 gig »»erben , iraS nnmöglid) ift. SBolItc man (jingcgcn fc» 

 ^cn, bie gcbad)tcn ©cgmcnte näbnten nad) IM ^in in 

 geomctrifdjcr Dicit)C ob, fo müptc man in ber Svcii 

 ijt enblid) auf ein ©lieb fommcn, baS fleinet, 

 als eine nod) an9cblid)e ©roge rotere, auf 

 ein SDIinimum, rocld)c8 roicbcr unmoglid) ift, rocil 

 jebcä ©egment, njic j. S. p'p (nad) $. i) einen 3BinfcU 

 fmu8 bari^cllt, unb jroat bcn gtoptcn, ein 2}?oj:imum, 



3d) babc bicre ficinc ©d)wicrfgfctt fo gcljobcn: Sn 

 fcepbcn gälten i|l ein *punct gegeben , burd) »c(d)cn eine 

 93araUclc mit einer gegebenen Cinie geful;rt ipitbj bitfe 

 9)araUcIe ijt nun buvd; S gcfiibtt, bafür borgt geometrt» 

 fd)cr Srunb, unb wenn ber SBinfet MST fpi^ ober fiumpf 

 (l)i)potbftifd;) angenommen mirb, fo gibt eS in S eine 

 fentred)tc auf TS, bie mit SR beäctdjnct \ex)n foU, biefe 

 SR fann gtwif nidjt auf bie MS falten, weil SR gcmäf 

 bet oben genannten gonflcuction, im ^Dunctc S einen red).- 

 fen SBinFel bilbet, ba MS im^unctc S einen fpi^cn SBin« 

 tcl (bijpotftftifd)) bilbcn foU. SR, a'i fenfredit auf ST 

 muf mit NT paraUcl fe^n, weil aud) NT auf ST fenfrc(<)t 

 i|t, baber gebe ti burd) S äwet), mit ND jugletd) pa-- 

 rnKelf Cinten, xvM)t6 naä) (9ir, 6 bet Sinlcit.) nid;t 

 fepn fann. 



9tod) fifjen ber üDIann , »eti^et bcn (äinwurf gemad,t 

 ^atte, nic^t ganj beftiebigt,n)eil er, mic er fagtc, nid)t bc. 

 greifen f önnc, baji c8 cincilei) fco, «Berber ben ^UBCt 

 flcbcnunb nae^berbte 9)arallcle füfjrcn — 

 ober: Sorljct bie parallele geben, unb naä)' 

 ^crbcn9)uncttnibranncf)me«. 5d) benite« tf)m 

 ba^er, ba§ ber ^unct S in ber »paraltelc, als ein äutrft 

 gegebener ^unct tonne angefcbcn werben, weil burd) ben 

 §unct S in ber^arallele (natb §. V) eine fcbiefe Normale 

 Statt l;a'je, grabe fo , wie biefe fc^iefe 9tormalc bei) bet 

 @tunbjufl6funa (9?r. 5 ber Sinl ) aud) ©tatt babe, unb 

 baljcr MS al6 parallel mit NT mittclU biefer fdjiefen 

 9Jotmalc gefiiljrt fep , unb fo fcp i)in ganj ber nämli(f)e 

 ©rwnb, wie in (9lr. 5 ber (ginl.) unb folglid) ganj wegen 

 beä ©ajeä (?tr. 6 ber (Jini.) ti unmoglid) fen , baf SR 

 parallel fei) mit NT; unb bodi müiitc bic SR paraUcl 

 fe«n, wenn ber SSinfcl MST fpf^ angenommen würbe. 



