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MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



analyse mathématique. — Mémoire sur les coordonnées curvilignes; 

 par M. G. Lamé. 



( Commissaires, MM. Lacroix, Sturm. ) 



« Dans un travail de physique mathématique, inséré dans le Journal de 

 l'École polytechnique, j'ai donné les formules générales qui peuvent ser- 

 vir à transformer des équations aux différences partielles, en coordonnées 

 curvilignes; mais comme le but que je me proposais alors était purement 

 analytique, j'avais négligé d'interpréter géométriquement ces diverses for- 

 mules. Cette interprétation complète est le sujet du mémoire que je sou- 

 mets aujourd'hui au jugement de l'Académie. Je vais essayer d'en donner 

 ici le résumé succinct. 



» Une fonction déterminée de trois coordonnées linéaires, égalée à une 

 constante, représente une infinité de surfaces de la même famille, qui ne 

 diffèrent les unes des autres que par la valeur numérique de la constante, 

 qu'on peut désigner sous le nom de paramètre. J'appelle surfaces conju- 

 guées orthogonales, trois systèmes de surfaces semblables, coexistant dans 

 l'espace, et ayant entre eux cette relation de position, qu'une surface d'un 

 des systèmes coupe à angle droit toutes les surfaces appartenant aux deux 

 autres. L'ensemble de ces surfaces offre un genre particulier de coordon- 

 nées curvilignes, car un point sera déterminé dans l'espace, si l'on connaît 

 les trois surfaces conjuguées qui se coupent en ce point , ou les valeurs 

 numériques des trois paramètres qui particularisent ces surfaces. 



» Le nombre de ces coordonnées curvilignes est sans doute illimité; 

 mais la condition d'être orthogonales établit des relations constantes en- 

 tre les éléments des surfaces conjuguées, dont la connaissance est néces- 

 saire pour transformer et simplifier les formules analytiques, exprimées 

 dans chaque système de coordonnées. Parmi ces relations, il en est une qui 

 indique que les intersections des surfaces conjuguées ne sont autres que 

 leurs lignes de courbure. Cette propriété remarquable a été démontrée pour 

 la première fois, sur les surfaces orthogonales du second degré, par 

 M. Binet, et ensuite d'une manière générale par M. Charles Dupin. Quant 

 aux autres relations, les seules qui puissent servir à la transformation des 



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