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coordonnées, elles expriment les lois que suivent les courbures des sur- 

 faces conjuguées. 



»La courbure d'une ligne ou d'une surface, en un point et dans un plan 

 déterminés, étant totalement définie par la fraction dont le numérateur est 

 l'unité, et le dénominateur le rayon du cercle oscillateur, on peut appeler 

 cette fraction coefficient de courbure, ou simplement courbure. D'après 

 cela, en chaque point de l'espace, découpé par un système de surfaces 

 orthogonales, correspondent six courbures, en général différentes, appar- 

 tenant deux à deux aux trois surfaces conjuguées qui se coupent en ce 

 point. Les trois lignes d'intersection de ces surfaces forment en quelque 

 sorte trois axes courbes dont le point considéré est l'origine. 



» Dans cette représentation géométrique, chacune des surfaces coordon- 

 nées a pour lignes de courbure les deux axes qu'elle contient , et les cen- 

 tres de ses deux sphères osculatrices sont situées sur la tangente au troi- 

 sième axe. D'un autre côté, chaque axe étant une ligne de courbure pour 

 chacune des surfaces coordonnées dont il est l'intersection, cet axe doit 

 être considéré comme offrant deux courbures différentes, mesurées dans 

 les plans tangents à ces surfaces. Les six courbures réunies des trois axes 

 sont d'ailleurs les mêmes que celles des surfaces coordonnées. 



» Les variations que les six courbures éprouvent, lorsqu'on passe d'un 

 point a un autre sur les axes courbes, sont soumises à des lois très simples; 

 pour les énoncer, quelques définitions sont nécessaires. J'emploie l'ex- 

 pression de courbures conjuguées en axe ou en surface , pour désigner les 

 deux courbures d'un même axe ou d'une même surface coordonnée. J'ap- 

 pelle pla/i d'une courbure, celui de son cercle osculateur. Enfin, je donne 

 simplement le nom de variation d'une quantité suivant une certaine ligne , 

 à la limite du rapport de l'accroissement de cette quantité à l'arc parcouru 

 sur la ligne. 



» D'après ces conventions, les lois qui régissent les six courbures ex- 

 priment, d'une part, que la variation d'une courbure, suivant l'axe nor- 

 mal à son plan, est égal au pi oduit de sa conjuguée en axe, par son excès 

 sur sa conjuguée en surface; et d'autre part, que le produit des deux cour- 

 bures d'une même surface, augmenté de la somme des carrés de leurs conju- 

 guées en axe, est égal à la somme des variations de ces deux dernières 

 courbures, suivant leurs arcs réciproques. Ces lois principales conduisent à 

 d'autres lois secondaires que je me dispenserai d'énoncer ici. 



» Lorsque les trois systèmes conjugués appartiennent à la classe des sur- 

 faces isothermes, les six rayons de courbure, en chaque point de l'espace , 



