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 parviendra jamais qu'au moyen de cette décomposition , à réduire à des in- 

 tégrales simples, les intégrales doubles que l'on a à considérer dans ce pro- 

 blème. En effet , les composantes de l'attraction de chaque couche sur un 

 point extérieur, s'exprimant sous forme finie, ainsi que je l'a i trouvé, 

 celles de l'attraction de l'ellipsoïde ont pour expressions des intégrales 

 simples, soit quand l'ellipsoïde est homogène, soit quand sa densité varie 

 d'une couche à une autre, suivant une loi donnée. 



» Peut-être qu'en rendant compte d'un Mémoire dont l'auteur a effective- 

 ment suivi cette marche qui pouvait seule le conduire au résultat (i), au- 

 rait-on pu mentionner le titre de l'ouvrage où le principe essentiel de la 

 décomposition de l'ellipsoïde en couches concentriques et semblables, 

 avait été employé pour la première fois , et où le problème se trouvait, 

 aussi pour la première fois, complètement résolu. Si j'eusse assisté à la 

 lecture du rapport, sans m'opposer aux conclusions, j'aurais adressé cette 

 observation à MM. les Commissaires (2), en me réservant de la dévelop- 

 per dans une note, comme je le fais aujourd'hui; et je leur aurais aussi 

 rappelé que M. Steiner, dès qu'il eut connaissance du théorème sur l'at- 

 traction d'une couche elliptique, auquel j'étais parvenu, a donné, dans 

 le journal de M. Crelle (3), une démonstration géométrique de la partie 

 relative à la direction de la force, suivant l'axe du cône tangent à la couche 

 et ayant son sommet au point attiré. 



» Si quelqu'un se fût avisé de différentier les expressions que Laplace 

 a donné le premier, des composantes de l'attraction d'un ellipsoïde sur 

 un point extérieur, en faisant varier les trois axes suivant un même rap- 

 port , il aurait vu que les intégrales disparaissent dans le résultat, et que 

 les composantes de l'attraction d'une couche elliptique s'expriment sous 

 forme finie. Cette remarque, que je n'ai faite qu'après coup, aurait mis sur 

 la voie de la solution directe du problème, en montrant que pour réduire 

 les intégrales doubles à des intégrales simples, il suffisait de déterminer a 

 priori, en grandeur et en direction , par des considérations géométriques 

 ou par l'analyse, l'attraction sur un point extérieur d'une couche infini- 

 ment mince, comprise entre deux surfaces elliptiques semblables. Par là, 

 on aurait aussi reconnu la possibilité d'étendre ces intégrales simples au 

 cas de l'ellipsoïde hétérogène ; extension dont on verra des exemples cu- 



(1) Compte rendu de la dernière séance. 



(2) L'usage de l'Académie est de n'adopter que les conclusions des rapports. 



(3) Tome XII, page 241- 



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