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 volume compris entre les deux premières , dans le rapport constant 



n'b'c 



abc ' 



» En effet , l'élément de volume en un point (x, y, z ) du premier 

 corps a pour expression dx dj dz, et l'élément de volume correspondant 

 dans le second corps est dx' dj' dz'. Or, les expressions de x', y', z' en fonc- 

 tion de x , y, z donnent 



dx' dy' dz = — -. — . dx dy dz ; 



ce qui démontre la proposition énoncée. 



» 4. Supposons qu'on ait entre les trois coefficients indéterminés a',b',c' 

 et les trois premiers a,b,c les deux relations 



a? — b l = a' 3 — b'\ 

 a? — c 2 £= a" — c* ; 



les deux surfaces A, A.' auront leurs sections principales décrites des mêmes 

 loyers, et il en sera de même des deux autres surfaces B, B'. 



» 5. Supposons que les deux premières surfaces A, B soient infiniment 

 rapprochées l'une de l'autre; ce qui aura lieu si n est de la forme (i — «), 

 é étant un infiniment petit; ces deux surfaces envelopperont une couche 

 ellipsoïdale infiniment mince C, dont A sera la surface externe et B la 

 Mirface interne. Les deux autres surfaces A', B' formeront pareillement une 

 couche ellipsoïdale infiniment mince C, dont A' sera la surface externe et 

 B' la surface interne. 



« Bemarquons de suite que les épaisseurs des deux couches, suivant un 

 même axe central, sont entre elles comme les demi-diamètres de leurs sur- 

 faces externes, dirigés suivant cet axe. Car soient a, a' ces demi- diamè- 

 tres, ceux des surfaces internes seront a — da, a' — da' ; et l'on a, par 



. , a — da a — da , a . da da' „ 



hypothèse, = ; — (*), ou — = —r. Donc, etc. 



J r a a ' a a 



» Soient S, S' deux points fixes pris sur les deux surfaces externes A, A' 

 et correspondants entre eux; soient deux autres points de ces surfaces, 

 /;*, m', aussi correspondants entre eux; et soient dv, dv les éléments de vo- 

 lume des deux couches en ces points m, m'; on aura , comme nous ve- 

 nons de le démontrer (5), 



dv abc 



W ~ aWc" 



» Or, par la proposition (1) on a mS' = m'S; donc 



