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In der Kurve Ach fen der Kurvenbogen Ace, dieſer nehme um das Stück 
BO zu oder um das Stück Be ab, fo it All die Absziſſe vom Scheidel für Ack, 
und BH die Ordinate davon ſenkrecht auf AU, BH=y, BD iſt die zugehörige Nor: 
male n, HDZs die Subnormale. Es werde nun die Zunahme BE HK von x 
oder die Abnahme ec—Hk durch dx bezeichnet, wiefern zugleich EG oy oder 
Be=—dy bedeuten. Errichtet man nun auf B durch die Puncte C und e die 
ſenkrechten OR und er und verlängert EC bis G und ec bis g, wo fie die Beruͤh— 
N rungslinie an B in G und g ſchneiden; fo erhält man die ahnlichen rechtwinkligen 
ADHBHOCEIJYGEBSOjec Beg. daher folgende Proportionen: 
f/ c 
HD: DB S CE; CJ = GE: 30 S je: je = Be: Bg 
N HB BODO = YE: G = BE 35G ce: ej = ge BS 
ci = oB K gB und CJ = CB S BG. Alſo iſt 
BD>ce ch „DPXBe und DECE . Ch SAB. 
— — — un 
8 N AD 5 . B 
Je kleiner ce und Be und rüͤckſichtlich CE und BE werden, um fo mehr kommen 
die beyden Ausdrücke zu beiden Seiten von cB und von CB dem Werthe von B 
und CB nahe oder nähern ſich dieſem ihrem mittlern Werthe und erreichen nur die 
Gleichheit im Unendlichkleinen, oder wenn die Puncte e und C dem Bunendlich nahe 
genommen werden. 
fit 
Zweytens ſey alſo der Kurvenbogen Ach a, deſſen Differenzial de- BC == Be; die Normale BD am Ende 
von « fen —n, die Subnormale HDs, Ordinate HB y, Absziſße N fo. find ruͤckſichtlich KH ce == dx, 
HK—BE—+dx, —Be-4 dy = CE und man bar J c dx) Sd e — dy). Und wenn endlich dy =/ und 
. =. Te 
4 — — werden, fo wird — e 
0 9. 
Man kann alſo, de unendlich klein geſetzt und dar Geno mal genommen, den Bogen « finden durch Inte 
gration oder Summation des rechten . linken Ausdruckes nach obigem wahren Si inn; DE erſt alsdann find 
ſich die Grenzverhaͤltniſſe —dy und = dx ganz gleich. Und alsdann iſt es auch ine 2 N der Tan⸗ 
gente bes Winkels zu egen, welchen die beiden Normalradien, die ſenkrecht auf den zwey ‚Enppunsten des Kurvenbo⸗ 
gens aufſtehen, oder Ordinate und Tangente einſchließen. Sind nun die Brüche * und 2 durch Functionen, ruͤckſicht⸗ 
lich von y oder von * bey einer Kurve gegeben und beſtimmt, fo iſt auch eines inden eden Rectification gehörig bez 
dingt und zu beſtimmen, denn es brauchen nur die gehörigen Stattſetzungen dieſer Functionen zu geſchehen und die 
darauf geforderten obigen Summationen vorgenommen zu werden. 
9. 15 
Die zweyte Art vom Aüfßaben in der analytiſchen Geometrie betreſtend iſt die ſogenannte Owadratur von Ebe⸗ 
nen, welche vom Kurvenbogen und zwey andern ihn begrenzenden und ſich ſelbſt durchſchneidenden Linen eingeſchloſſen 
werden. Wenn in unfrer Figur die Ebene AcBHA beſtimmt werden oll, fo: ſieht man bloß auf das Stuͤck HBCKH 
oder auf das Stück HBckH, um welche fie zu oder abnimmt. Dieſe Trapeze werden gefunden, wenn man ihre paralz 
lelen Seiten HB und KG oder HB: und ke addirt, und mit den Haͤlften der rückſichtlichen Hoͤhen HK nnd Hk multi⸗ 
plicirt. Es iſt aber HB=y, KC KE+ECTHB+EG-y-+öy und ke He = HB Be- dy, HK ox, und auch 
Hk dx und wenn Ach geſetzt wird, o 80 2 (2 EY) da—ydx HA R oder yd Ed Vd d OS yöx-dyöx. 
Daher ſich SQ dem Werthe yöx. um fo mehr 98 je näher die Puncte c oder C Fa Pnncte B genommen wer⸗ 
den. Zugleich find nun für y alle Werthe von 115 bis oder von = bis — zunehmen, fo bald fo ſum⸗ 
mirt werden ſoll, wie oben gelehrt worden iſt, welches nur moglich iſt, wenn y durch eine Function von x oder umge 
kehrt oͤ durch eine Function von y und dy gegeben iſt, welche Werthe zuvor Rattgefegt werden muͤſſen. Alſo auch 
hier bey der Quadratur kleinſte Grenzverhäftniffe wie bey der Rectification. 
9. 15 
Die dritte Art von analytiſch geometriſchen Aufgaben iſt die Kubatur und wird durch dxdydz— ds ausge⸗ 
druͤckt und erfordert eine dreyfache Summation oder ſogenannte Integration. Ein ſchon beſonderter Fall iſt, wenn 
die oben erwähnte Ebene um eine ihrer Koordinaten als Achſe kreizt und ein Konoid beſchreibt; dann ie das 
Differenzial der Ebene oder dF = HBC K einen abgekuͤrzten Kegel, davon der Inhalt d , N ο Y = dx 
Y SY L550 — V de ry! X . 7 S) ꝛö x, dx O y SV Ave 20 < röx (YE) das Differenz 
3 
zial dy Ed) iſt der Ausdruck für einen kleinen Zylinder von der ſehr kleinen Höhe e 
